4.8 Центральная предельная теорема

Created in August 22, 2025

2025   ·   stepik-probability_theory-3089

4.8 Центральная предельная теорема

модуль 4.8 шаг 5

В процессе вычислений было просуммировано 10000 чисел, каждое из которых было округлено с точностью до \(10^{-m}\). Предполагая, что ошибки, возникшие от округления чисел, взаимно независимы и равномерно распределены на интервале \((-0.5\cdot10^{-m}, 0.5\cdot{10^{-m}})\), найдите пределы, в которых с вероятностью большей 0.996 будет лежать суммарная ошибка. В качестве ответа введите в систему правую границу интервала в следующем виде: целая степень числа 10, умноженная на некоторый коэффициент из интервала (0,1), округленный до трех знаков после запятой. Например, 0.123*10^(4*m+5).

Решение

Пусть \(n=10000\). Рассмотрим случайные величины \(\xi_k\), равные ошибке округления k-го числа и \(S_n=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n\). Понятно, что \(\mathbb{E}\xi_{k}=0\) и, значит, \(\mathbb{E}S_n=0\). Найдем дисперсию

\[\displaylines{\mathbb{D}\xi_k=\mathbb{E}\xi_k^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}t^2\cdot{10^m}\mathbf{1}_{[-\frac{1}{2}\cdot{10^{-m}}, \frac{1}{2}\cdot{10^{-m}}]}(t)dt=10^m\int\limits_{-\frac{1}{2}\cdot{10^{-m}}}^{\frac{1}{2}\cdot{10^{-m}}}t^2dt=10^m\cdot{\frac{t^3}{3}}\bigg|_{-\frac{1}{2}\cdot{10^{-m}}}^{\frac{1}{2}\cdot{10^{-m}}}=\frac{1}{12}\cdot{10^{-2m}}.}\]

По центральной предельной теореме для \(S_n\) имеем

\[\displaylines{P(\lvert{S_n}\rvert<a)=P\left(\bigg|\frac{S_n-0}{\sqrt{n}\sqrt{\frac{1}{12}\cdot{10^{-2m}}}}\bigg| < \frac{a}{\sqrt{n}\sqrt{\frac{1}{12}\cdot{10^{-2m}}}} \right) \approx 2\Phi_0\left(\frac{a}{100\sqrt{\frac{1}{12}\cdot{10^{-2m}}}} \right)= \\ = 2\Phi_0(2\sqrt{3}\cdot{10^{m-2}}\cdot{a}) \approx 0,996.}\]

По таблице значений для функции \(\Phi_0\) находим, что \(\Phi_0(2,879)\approx{0},498\). Следовательно, \(2\sqrt{3}\cdot{10^{m-2}}\cdot{a} \approx 2,879\) и, значит, \(a\approx 83,11\cdot{10^{-m}}\).

Ответ:

0.831*10^(-m+2)

модуль 4.8 шаг 6

Сумасшедший мирмеколог взвешивает муравьев из близлежащих муравейников. За летний сезон ему удается взвесить 10000 муравьев. За многолетний период исследований он установил, что среднеквадратическое отклонение веса муравьев за один сезон составляет 2мг. В последний год исследований он обнаружил, что средний вес муравьев увеличился не менее чем на 0,05 мг по сравнению с предыдущим годом. Найдите вероятность такого события. Не пора ли мирмекологу приобрести новые весы? В ответе укажите найденную вероятность, округленную до пяти знаков после запятой.

Решение

Пусть \(n=10000\). Рассмотрим случайные величины \(\xi_k\), равные весу k-го по счету взвешенного муравья и \(S_n=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n\). Пусть \(a\) — средний вес муравья за весь период наблюдений. Тогда \(\mathbb{E}\xi_k=a\) и \(\mathbb{E}S_n=na\). Поскольку среднеквадратическое отклонение веса муравьев равно 2, \(\mathbb{D}\xi_k=2^2=4\) и \(\mathbb{D}S_n=4n\). По центральной предельной теореме для \(S_n\) имеем

\[\displaylines{P\left(\frac{S_n}{n}-a>0.05 \right)=P\left(\frac{S_n-na}{2\sqrt{n}}>\frac{0.05\sqrt{n}}{2} \right) \approx 1-\Phi(0.025\sqrt{n}) = \\ =1-\Phi(2.5)=\frac{1}{2}-\Phi_0(2.5) \approx 0.00621.}\]

Ответ:

0.00621

модуль 4.8 шаг 7

Костя Сидоров считает интеграл \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}dx\). Для этого он берет последовательность независимых случайных величин \(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n\), равномерно распределенных на отрезке \([0,\frac{\pi}{2}]\) и вычисляет приближение \(I_n=\frac{\pi}{2n}\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{\xi_k}\). При каком наименьшем \(n\) можно с вероятностью 0,95 утверждать, что погрешность вычисленного им значения интеграла менее 5%.

Решение

Рассмотрим случайные величины \(\eta_k=\frac{\pi}{2}\cos{\xi_k}\). Тогда \(I_n=\frac{1}{n}(\eta_1+\eta_2+...+\eta_n)=\frac{S_n}{n}\), где \(S_n=\eta_1+\eta_2+...+\eta_n\). По линейности математического ожидания и формуле его вычисления для функций от случайных величин

\[\mathbb{E}\eta_k=\frac{\pi}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos{t}\cdot{\frac{2}{\pi}\mathbf{1}_{[0,\frac{\pi}{2}]}}(t)dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{t}dt=1=I.\]

Поэтому \(\mathbb{E}S_n=nI\). Аналогично

\[\mathbb{E}\eta_k^2=\left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos^2{t}\cdot{\frac{2}{\pi}\mathbf{1}_{[0,\frac{\pi}{2}]}}(t)dt=\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{t}dt=\frac{\pi^2}{8}.\]

и следовательно, \(\mathbb{D}\eta_k=\mathbb{E\eta_k^2}-(\mathbb{E}\eta_k)^2=\frac{\pi^2}{8}-1 \approx 0,234.\)

По центральной предельной теореме для \(S_n\) имеем

\[P\left(\bigg|\frac{S_n}{n}-I \bigg| < 0.05 \right)=P\left(\bigg|\frac{S_n-nI}{\sqrt{n}\sqrt{\frac{\pi^2}{8}-1}} \bigg| < \frac{0.05\sqrt{n}}{\sqrt{\frac{\pi^2}{8}-1}} \right) \approx 2\Phi_0\left(\frac{0.05\sqrt{n}}{\sqrt{\frac{\pi^2}{8}-1}} \right).\]

Положим для краткости \(a_n=\frac{0.05\sqrt{n}}{\sqrt{\frac{\pi^2}{8}-1}}\). Нам нужно найти такое \(n\), что \(2\Phi_0(a_n)>0.95\). Пользуясь таблицей значений функции \(\Phi_0\), находим, что \(a_n\approx 1.96\) и, значит,

\[n \approx \left( \frac{\pi^2}{8}-1\right)\left(\frac{1.96}{0.05} \right)^2 \approx 359.113.\]

Ответ

360

модуль 4.8 шаг 8

Отметьте верные утверждения

Решение

Ответ

  • Если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то ее математическое ожидание равно 1, а дисперсия равна 0
  • Если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то ее математическое ожидание равно 0, а дисперсия равна 1
  • Центральная предельная теорема утверждает, что некоторая последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине, имеющей нормальное распределение
  • Центральная предельная теорема утверждает, что некоторая последовательность случайных величин сходится по распределению к случайной величине, имеющей нормальное распределение
  • Характеристическая функция случайной величины принимает только неотрицательные значения
  • Характеристическая функция случайной величины является случайной величиной, заданной на том же вероятностном пространстве
  • Закон 0 или 1 утверждает, что если есть последовательность независимых событий, то вероятность одновременного наступления бесконечного числа из них равна 0 или 1
  • Совместная функция распределения случайных величин равна произведению их функций распределения
  • Плотность распределения случайной величины не может принимать значения, большие единицы