4.7 Характеристические функции случайных величин

модуль 4.7 шаг 4

Пусть \(\xi\) и \(\eta\) — независимые одинаково распределённые случайные величины с характеристической функцией \(f(t)=\varphi(t)\). Найдите характеристическую функцию случайной величины \(\xi-2\eta+3\). Напоминаем, что мнимую единицу нужно вводить в систему как I.

Решение

По свойствам 2 и 3 характеристических функций

\[\varphi_{\xi-2\eta+3}(t)=e^{3it}\varphi_{\xi-2\eta}(t)=e^{3it}\varphi_{\xi}(t)\varphi_{-2\eta}(t)=e^{3it}\varphi_{\xi}(t)\varphi_{\eta}(-2t)=e^{3it}f(-2t)f(t).\]

Ответ:

f(t)E^(3It)f(-2*t)(a)/((a+b))

модуль 4.7 шаг 5

Вычислите характеристическую функцию

случайной величины \(\xi\), принимающей значение 1 с вероятностью \(p\in(0,1)\) и значение 0 с вероятностью \(1-p\);
случайной величины \(\eta\), имеющей биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\).

В качестве ответа укажите выражение \(\varphi_{\xi}(t)*x+\varphi_{\eta}(t)*y\).

С помощью характеристической функции найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей биномиальное распределение.

Решение

По определению

\[\varphi_{\xi}(t)=\mathbb{E}e^{it\xi}=\sum\limits_{k=0}^{1}e^{itk}P(\xi=k)=P(\xi=0)+e^{it}P(\xi=1)=1-p+pe^{it}.\]

Представим случайную величину \(\eta\) в виде суммы независимых случайных величин \(\xi_k\), принимающих значение 1 с вероятностью \(p\in(0,1)\) и значение 0 с вероятностью \(1-p\). Тогда

\[\varphi_{\xi}(t)=\varphi_{\xi_{1}}(t)\varphi_{\xi_{2}}(t)...\varphi_{\xi_{n}}(t)(t)=(1-p+pe^{it})^n.\]

По 7 свойству характеристических функций

\[\mathbb{E}\eta=-i\varphi_{\eta}^{'}(0)=-i\left((1-p+pe^{it})^n \right)^{'}\bigg|_{t=0}=-i\cdot{npie^{it}(1-p+pe^{it})^{n-1}}\bigg|_{t=0}=np \quad и\] \[\displaylines{\mathbb{D}\eta=-\varphi_{\eta}^{''}(0)+(\varphi_{\eta}^{'}(0))^2=-\left(npie^{it}(1-p+pe^{it})^{n-1} \right)^{'}\bigg|_{t=0}+(inp)^2= \\ = np(npe^{2it}-pe^{it}+e^{it})(1-p+pe^{it})^{n-2}\bigg|_{t=0}-n^2p^2=np(np-p+1)-n^2p^2=np(1-p)}.\]

Ответ:

(1-p+pE^(It))x+(1-p+pE^(It))^ny

модуль 4.7 шаг 6

Вычислите характеристическую функцию

случайной величины \(\xi\), имеющей геометрическое распределение с параметром \(p\in(0,1)\);
случайной величины \(\eta\), имеющей распределение Пуассона параметром \(a>0\).

В качестве ответа укажите выражение \(\varphi_{\xi}(t)*x+\varphi_\eta(t)*y\).

Решение

По определению

\[\displaylines{\varphi_{\xi}(t)=\mathbb{E}e^{it\xi}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{itk}P(\xi=k)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{itk}p(1-p)^{k-1}=\frac{p}{1-p}\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{itk}(1-p)^k= \\ = \frac{p}{1-p}\sum\limits_{k=1}^{\infty}((1-p)e^{it})^k=\frac{p}{1-p}\cdot{\frac{(1-p)e^it}{1-(1-p)e^{it}}}=\frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}.}\]

Аналогично

\[\displaylines{\varphi_{\eta}(t)=\mathbb{E}e^{it\eta}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{itk}P(\eta=k)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = \\ = e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!}=e^{-\lambda}\exp(\lambda(e^{it}-1)).}\]

Ответ:

(pE^(It)/(1-(1-p)E^(It)))x+E^(a(E^(It)-1))y

модуль 4.7 шаг 8

Случайная величина \(\xi\) имеет плотность распределения \(p_{\xi}(x)=\frac{e^{-\lvert{x}\rvert}}{2}\). Найдите ее характеристическую функцию \(\varphi_{\xi}(t)\).

Решение

По определению

\[\displaylines{\varphi_{\xi}(t)=\mathbb{E}e^{it\xi}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}p_{\xi}(x)dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\cdot\frac{e^{-\lvert{x}\rvert}}{2}dx=\frac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{\infty} e^{itx}e^{-x}dx+\int\limits_{-\infty}^{0} e^{itx}e^{x}dx\right) = \\ =\frac{1}{2}\left(\int\limits_{0}^{\infty}e^{itx}e^{-x}dx+\int\limits_{0}^{\infty}e^{-itx}e^{-x}dx \right) = \frac{1}{2}\left( \frac{e^{itx}e^{-x}}{it-1}+\frac{e^{-itx}e^{-x}}{-it-1}\right)\bigg|_{x=0}^{x=\infty} = \\ = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-it}+\frac{1}{1+it} \right)=\frac{1}{1+t^2}.}\]

Ответ:

1/(t^2+1)

модуль 4.7 шаг 9

Золушке поручено разобрать мешок фасоли, в котором находится n белых фасолин и m коричневых. Некоторые из фасолин проросли. Количество проросших белых фасолин имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\in(0,1)\), а количество проросших коричневых фасолин имеет биномиальное распределение с параметрами \(m\) и \(p\). Помогите Золушке найти распределение проросших фасолин в мешке. В качестве ответа приведите вероятность того, что в мешке ровно \(k\) (конечно же, \(k<m+n\)) проросших фасолин.

Решение

Найдем характеристическую функцию для распределения фасолин в мешке. Пусть \(\xi\) — случайная величина, равная количеству проросших белых фасолин, а \(\eta\) — случайная величина, равная количеству проросших черных фасолин. По задаче 2 имеем

\[\varphi_{\xi}=(1-p+pe^{it})^n \quad и \quad \varphi_\eta(t)=(1-p+pe^{it})^m.\]

Из постановки задачи случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) независимы, поэтому

\[\varphi_{\xi+\eta}(t)=(1-p+pe^{it})^n(1-p+pe^{it})^m=(1-p+pe^{it})^{n+m}.\]

Таким образом, \(\varphi_{\xi+\eta}(t)\) является характеристической функцией биномиального распределения. Поскольку характеристическая функция однозначно определяет распределение, \(\xi+\eta\) имеет биномиальное распределение. Отсюда находим вероятность того, что в мешке ровно \(k\) проросших фасолин: \(\frac{(m+n)!}{k!(m+n-k)!}p^k(1-p)^{m+n-k}\).

Ответ:

binomial(m+n, k)(1-p)^(m+n-k)p^k

модуль 4.7 шаг 10

Даны натуральные числа \(k\) и \(n\). Случайные величины \(\xi_1,\xi_{2},...,\xi_{n}\) независимы и имеют экспоненциальное распределение с показателем \(\lambda=1\). Найдите математическое ожидание \(\mathbb{E}\left( \left( \xi_1+\xi_2+...+\xi_n\right)^k \right)\).

Решение

Пусть \(\xi=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n\). В лекциях была найдена характеристическая функция экспоненциального распределения, она равна \(\frac{\lambda}{\lambda-it}\), поэтому \(\varphi_{\xi_{k}}(t)=\frac{1}{1-it}\). Поскольку случайные величины \(\xi_k\) независимы \(\varphi_{\xi}(t)=\left(\frac{1}{1-it}\right)^n\). По 6 свойству характеристических функций

\[\displaylines{\mathbb{E}\xi^k=(-i)^k\varphi_{\xi}^{(k)}(0)=(-i)^k\left(\left( \frac{1}{1-it}\right)^n \right)^{(k)}\bigg|_{t=0}= \\ =(-i)^ki^kn(n+1)...(n+k-1)\left(\frac{1}{1-it} \right)^{n-k}\bigg|_{t=0}=n(n+1)...(n+k-1)=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}.}\]

Ответ:

(-I)^k(n+k-1)!I^k/(n-1)!