4.6 Математическое ожидание
модуль 4.6 шаг 4
Случайная величина \(\xi\) имеет распределение Парето с показателем \(a>0\), если плотность ее распределения задается формулой
\[p_{\xi}(t)=\left\{ \begin{aligned} & at^{-a-1}, \quad \quad при \quad t\geqslant{1}, \\ & 0, \quad \quad \quad \quad \quad при \space \space t < 1. \\ \end{aligned} \right.\]Пусть \(a>2\). Найдите математическое ожидание и дисперсию \(\xi\). В качестве ответа введите в систему выражение \(\mathbb{E}\xi*x+\mathbb{D}\xi*y\).
Решение
Найдем математическое ожидание случайной величины \(\xi\). Заметим, что при \(a>2\)
\[\mathbb{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xp_{\xi}(x)dx=\int\limits_{1}^{\infty}xa\cdot{x^{-a-1}}=a\int\limits_{1}^{\infty}x^{-a}dx=a\cdot\frac{x^{-a+1}}{-a+1}\bigg|_{x=1}^{x=\infty}=\frac{a}{a-1}.\]Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины \(\xi\). Заметим, что при \(a>2\)
\[\mathbb{E}\xi^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2p_{\xi}(x)dx=\int\limits_{1}^{\infty}x^2a\cdot{x^{-a-1}}=a\int\limits_{1}^{\infty}x^{-a+1}dx=a\cdot\frac{x^{-a+2}}{-a+2}\bigg|_{x=1}^{x=\infty}=\frac{a}{a-2}.\]Теперь найдем дисперсию случайной величины \(\xi\).
\[\mathbb{D}\xi=\mathbb{E}\xi^2-(\mathbb{E}\xi)^2=\frac{a}{a-2}-\left(\frac{a}{a-1} \right)^2=\frac{a}{(a-2)(a-1)^2}.\]Ответ:
a/(a-1)x+a/((a-2)(a-1)^2)*y
модуль 4.6 шаг 6
Отметьте верные утверждения
Решение
Ответ:
- Экспоненциальное распределение является непрерывным распределением
- Нормальное распределение является дискретным распределением
- Вероятность того, что экспоненциально распределенная случайная величина принимает отрицательные значения, равна нулю
- У случайной величины, имеющей распределение Пуассона, математическое ожидание и дисперсия равны
- Для нормально распределенной случайной величины математическое ожидание и медиана равны
- Плотность распределения всегда является непрерывной функцией
- Интеграл плотности распределения от \(-\infty\) до \(+\infty\) всегда равен 1
- Случайная величина, имеющая непрерывное распределение, может принимать все значения из некоторого интервала
модуль 4.6 шаг 7
Найдите медиану, математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(\xi\), имеющей экспоненциальное распределение с показателем \(a>0\). В качестве ответа введите в систему выражение \(m*x+\mathbb{E}\xi*y+\mathbb{D}\xi*z\), где \(m\) — медиана \(\xi\).
Решение
Экспоненциально распределенная случайная величина имеет плотность распределения вероятности
\[p_{\xi}(t)=\left\{ \begin{aligned} & 0, \quad \quad при \quad t<0, \\ & ae^{-at}, \quad при \space \space t \geqslant 0. \\ \end{aligned} \right.\]Медианой является такое число \(m\), что \(P(\xi\leqslant{m})\geqslant\frac{1}{2}\) и \(P(\xi\geqslant{m})\geqslant\frac{1}{2}\). Таким образом, медиана m должна удовлетворять соотношениям
\[\int\limits_{0}^{m}ae^{-at}dt\geqslant\frac{1}{2} \quad и \quad \int\limits_{m}^{\infty}ae^{-at}dt\geqslant\frac{1}{2}.\]Следовательно,
\[\int\limits_{0}^{m}a^{-at}dt=\frac{1}{2}\]То есть \(e^{-am}=\frac{1}{2}\) что означает, что \(m=\frac{\ln{2}}{a}\).
Найдем математическое ожидание \(\xi\):
\[\mathbb{E}\xi=\int\limits_{0}^{\infty}tae^{-at}dt=-te^{-at}\bigg|_{0}^{\infty}+\int\limits_{0}^{\infty}e^{-at}dt=-\frac{e^{-at}}{a}\bigg|_{0}^{\infty}=\frac{1}{a}.\]Здесь мы воспользовались формулой интегрирования по частям.
Для вычисления дисперсии \(\xi\) нам понадобится математическое ожидание \(\xi^2\):
\[\mathbb{E}\xi^2=\int\limits_{0}^{\infty}t^2ae^{-at}dt=-t^2e^{-at}\bigg|_{0}^{\infty}+2\int\limits_{0}^{\infty}=\frac{2}{a^2}.\]Здесь мы воспользовались формулой интегрирования по частям и уже вычисленным интегралом.
Таким образом,
\[\mathbb{D}\xi=\mathbb{E}\xi^2-\left( \mathbb{E}\xi\right)^2=\frac{2}{a^2}-\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}.\]Ответ:
(log(2)/a)x+(1/a)y+(1/a^2)*z
модуль 4.6 шаг 8
Случайная величина \(\xi\) имеет стандартное нормальное распределение. Найдите плотность распределения случайной величины \(\eta=\xi^2\). В ответе укажите функцию \(p_{\eta}(t)\).
Решение
Найдем функцию распределения \(\eta\):
\[F_{\eta}(x)=P(\eta\leqslant{x})=P(\xi^2\leqslant{x}).\]При \(x<0\) такая вероятность равна нулю. При \(x\geqslant{9}\) получаем
\[F_{\eta}(x)=P(\xi^2\leqslant{x})=P(-sqrt{x}\leqslant{\xi}\leqslant\sqrt{x})=\Phi(\sqrt{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{\frac{t^2}{2}}dt.\]Тогда \(p_{\eta}(x)=F_{\eta}^{'}\), что равно 0 при \(x<0\), а при \(x\geqslant{0}\)
\[F_{\eta}^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{\sqrt{x}}.\]Ответ
Piecewise( (0, (t <=0) ), (1/sqrt(2pit)*E^-(t/2), (t > 0)))
модуль 4.6 шаг 9
Совместное распределение случайных величин \(\xi\) и \(\eta\) имеет плотность
\[p_{\xi,\eta}(x,y)=\left\{ \begin{aligned} & x+y, \quad \quad при \quad 0\leqslant{x}\leqslant{1}, 0\leqslant{y}\leqslant{1}\\ & 0, \quad \quad \quad \quad \quad в \quad остальных \quad случаях. \\ \end{aligned} \right.\]Найдите \(\mathbb{E}\xi\), \(\mathbb{E}\eta\), \(\mathbb{D}\xi\), \(\mathbb{D}\eta\) и \(cov(\xi,\eta)\). В ответе приведите найденные величины в виде обыкновенных дробей, разделенных пробелами.
Решение
Для вычисления математического ожидания и дисперсии найдем плотность распределения случайных величин \(\xi\) и \(\eta\). Для этого заметим, что
\[F_{\xi}(x)=P(\xi\leqslant{x})=\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi,\eta}(s,t)dtds.\]При \(x\leqslant{0}\) этот интеграл обращается в ноль, поскольку подынтегральная функция нулевая. При \(x\geqslant{1}\) этот интеграл равен
\[\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}(s+t)dtds=1.\]Наконец, при \(0<x<1\) имеем
\[F_{\xi}(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi,\eta}(s,t)dtds=\int\limits_{0}^{x}\int\limits_{0}^{1}(s+t)dtds=\frac{x^2+x}{2}.\]Следовательно,
\[p_{\xi}(x)=F_{\xi}^{'}\left\{ \begin{aligned} & x+\frac{1}{2}, \quad \quad при \quad 0<x<1\\ & 0, \quad \quad \quad \quad иначе. \\ \end{aligned} \right.\]Из формулы для совместной плотности распределения сразу видно, что \(p_{\eta}(t)=p_{\xi}(t)\).
Таким образом,
\[\mathbb{E}\eta=\mathbb{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xp_{\xi}(x)dx=\int\limits_{0}^{1}x\left( x+\frac{1}{2}\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{4} \right)\bigg|_{0}^{1}=\frac{7}{12} \quad и\] \[\mathbb{E}\eta^2=\mathbb{E}\xi^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2p_{\xi}(x)dx=\int\limits_{0}^{1}x^2\left( x+\frac{1}{2}\right)dx=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{6} \right)\bigg|_{0}^{1}=\frac{5}{12}.\]Следовательно,
\[\mathbb{D}\eta=\mathbb{D}\xi=\mathbb{E}\xi^2-(\mathbb{xi})^2=\frac{5}{12}-\left(\frac{7}{12} \right)^2=\frac{11}{144}.\]Перейдем теперь к вычислению ковариации. Для этого нужно найти \(\mathbb{E}(\xi\eta)\):
\[\mathbb{E}(\xi\eta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}xy\cdot{p_{\xi,\eta}(x,y)}dxdy=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}xy(x+y)dxdy=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left( \frac{y^2}{2} +\frac{y}{3}\right)dy=\frac{1}{3}.\]Стало быть,
\[cov(\xi,\eta)=\mathbb{E}(\xi\eta)-\mathbb{E}\mathbb{\eta}=\frac{1}{3}-\left(\frac{7}{12} \right)^2=-\frac{1}{144}.\]Ответ:
7/12 7/12 11/144 11/144 -1/144
модуль 4.6 шаг 10
Независимые случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) имеют экспоненциальное распределение с параметрами \(a\) и \(b\) соответственно. Найдите вероятность \(P(\xi\leqslant{\eta})\).
Решение
Так как случайные величины независимы, совместная плотность распределения — произведение плотностей, то есть
\[p_{\xi,\eta}(x,y)=ae^{-ax}\cdot{be^{-by}}.\]Тогда вероятность случайного события \(\xi\leqslant{\eta}\) есть интеграл от плотности \(p_{\xi,\eta}(x,y)\) по множеству \(x\leqslant{y}\). Следовательно,
\[\displaylines{ P(\xi\leqslant{\eta})=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{y}p_{\xi, \eta}(x,y)dxdy=\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{y}ae^{-ax}\cdot{be^{-by}}dxdy=ab\int\limits_{0}^{\infty}e^{-by}\int\limits_{0}^{y}e^{-ax}dxdy= \\ = ab\int\limits_{0}^{\infty}e^{-by}\left(\frac{1}{a}(1-e^{-ay}) \right)dx=b\int\limits_{0}^{\infty}\left(e^{-by}-e^{-(a+b)y} \right)dy= \\ = b\left( \frac{e^{-by}}{-b}-\frac{e^{-(a+b)y}}{-(a+b)} \right)\bigg|_{y=0}^{y=\infty}=b\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b} \right)=1-\frac{b}{a+b}=\frac{a}{a+b}}.\]Ответ:
(a)/((a+b))