4.5 Независимость
модуль 4.5 шаг 3
Случайная величина имеет распределение Лапласа с показателем \(\lambda>0\), если плотность ее распределения равна \(\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda\lvert{t}\rvert}\). Две независимые случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) имеют распределение Лапласа: \(\xi\) с показателем \(a\), \(\eta\) с показателем \(b\). Найдите плотность распределения случайного вектора \((\xi, \eta)\). В качестве ответа введите в систему плотность \(p_{(\xi,\eta)}\). Обратите внимание на то, как нужно вводить в систему экспоненты и модули: exp(t) и Abs(t).
Решение
Найдем функцию распределения случайного вектора \((\xi,\eta)\). Так как случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) независимы,
\[F_{(\xi,\eta)}(x,y)=\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{y}\frac{a}{2}e^{-a|t|}\cdot\frac{b}{2}e^{-b|s|}dtds=\frac{ab}{4}\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{y}e^{-a|t|}e^{-b|t|}dtds.\]Тогда
\[p_{(\xi,\eta)}=\frac{\partial^2{F_{(\xi,\eta)}(x,y)}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{ab}{4}e^{-a|x|}e^{-b|y|}\]Ответ
(a/2)exp(-aAbs(x))(b/2)exp(-b*Abs(y))
модуль 4.5 шаг 6
Стороны прямоугольника — наудачу взятые отрезки, длины которых не превосходят 2 и являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными на отрезке [0,2]. Найдите плотность распределения площади прямоугольника. В качестве ответа введите в систему найденную функцию плотности \(p(t)\).
Решение
Так как случайные величины равномерно распределены на [0,2],
\[p_{\eta}(t)=p_{\xi}(t)=\left\{ \begin{aligned} & 0, \quad при \quad t< 0 \quad \quad или \quad \quad t>2, \\ & \frac{1}{2}, \quad при \quad 0 \leqslant t \leqslant 2. \\ \end{aligned} \right.\] \[P_{\xi\eta}(t)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{s}p_{\xi}(s)p_{\eta}\left(\frac{t}{s}\right)ds=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{2}\boldsymbol{1}_{[0,2]}\cdot\frac{1}{2}\boldsymbol{1}_{[0,2]}\left(\frac{t}{s}\right)ds=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}\frac{1}{s}\cdot\boldsymbol{1}_{[0,2]}\left(\frac{t}{s}\right)ds.\]Под интегралом находится ненулевая функция только при \(\frac{t}{s}\in[0,2]\), то есть при \(s\in[\frac{t}{2},2]\) и \(t\in[0,4]\). Таким образом, при \(t\in[0,4]\)
\[p_{\xi\eta}(t)=\frac{1}{4}\int\limits_{\frac{t}{2}}^{2}\frac{ds}{s}=\frac{1}{4}\left(\ln2-\ln\left(\frac{t}{2}\right)\right)\]На других промежутках \(p_{\xi\eta}\) равна нулю.
Ответ
| Piecewise( (0, (t <=0) | ( t>4)), (1/4*log(4/t), (t < 4) & (t > 0))) |