4.4 Непрерывное распределение

модуль 4.4 шаг 3

Отметьте те пункты, в которых ответ на вопрос “может”. Может ли при каком-либо значении аргумента:

Решение

Ответ

функция распределения быть больше единицы?
плотность распределения быть больше единицы?
функция распределения быть отрицательной?
плотность распределения быть отрицательной на некотором интервале?
функция распределения быть равной нулю?
плотность распределения быть равной нулю?

модуль 4.4 шаг 5

Случайная величина $\xi$ имеет распределение Коши с плотностью $p_{\xi}(t)=\frac{1}{\pi(1+t^2)}$. Найдите плотность распределения случайной величины $\eta=\frac{1}{1=\xi^2}$. В ответе приведите формулу для $p_{\eta}(t)$. Напомним, что число $\pi$ следует вводить в систему как pi.

Решение

Найдем сначала функцию распределения случайной величины $\eta$. Поскольку $\eta>0$, $F_{\eta}=P(\eta\leqslant{x})=0$ при неположительных $x$. Если $x>0$, имеем

\[F_{\eta}=P(\eta\leqslant{x})=P\left(\frac{1}{1+\xi^2}\right)=P\left(\frac{1}{x}\leqslant{1+\xi^2}\right).\]

Если $x\geqslant{1}$, то неравенство $\frac{1}{x}\leqslant1+\xi^2$ всегда верно, поэтому $F_{\eta}(x)=1$. Рассмотрим теперь случай $0<x<1$:

\[\displaylines{F_{\eta}(x)=P\left(\frac{1}{x}\leqslant{1+\xi^2}\right)=P\left(\frac{1}{x}-1\leqslant{\xi^2}\right)=1-P\left(\frac{1}{x}-1>\xi^2\right)= \\ = 1-P\left(-\sqrt{\frac{1}{x}-1}<\xi<\sqrt{\frac{1}{x}-1}\right)=1-\int\limits_{-\sqrt{\frac{1}{z}-1}}^{\sqrt{\frac{1}{z}-1}}\frac{dt}{\pi(1+t^2)}=1-\frac{2}{\pi}arctg{\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1} \right)}}.\]

Тогда $p_{\eta}(x)=F_{\eta}^{'}$, что равно нулю при $x\leqslant{0}$ и $x\geqslant{0}$, а при $0<x<1$

\[p_{\eta}=F_{\eta}^{'}=\left(1-\frac{2}{\pi}arctg{\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1} \right)} \right)^{'}=\frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}.\]

Ответ

Piecewise( (0, (t <=0)

( t>=1)), (1/(pi*sqrt(t-t^2)), (t < 1) & (t > 0)))

модуль 4.4 шаг 7

В круге радиуса $R$ с центром в начале координат наугад выбирается точка. Случайная величина $\xi$ — абсцисса выбранной точки. Найдите плотность распределения $\xi$. В ответе укажите плотность $p_{\xi}(t)$.

Решение

Найдем функцию распределения случайной величины, вычисляя вероятности из геометрических соображений.

Площадь данного круга равна $\pi R^2$. Площадь множества точек круга, абсциссы которых меньше $x\in[-R,R]$ равна

\[S_x=2\int\limits{-R}^{R}\sqrt{R^2-t^2}dt.\]

Действительно, это множество точек является сектором, симметричным относительно оси $Ox$, а кривая, под графиком которой является верхний полукруг, имеет уравнение $y(t)=\sqrt{R^2-t^2}$. Таким образом,

\[F_{\xi}(x)=\left\{ \begin{aligned} & 0, \quad \quad \quad \quad при \quad x<-R, \\ & \frac{2\int\limits_{-R}^{x}\sqrt{R^2-t^2}dt}{\pi R^2}, \quad \space \space при \quad x\in[-R,R], \\ & 1, \quad \quad \quad \quad \quad при \space \space x > 1. \\ \end{aligned} \right.\]

Тогда

\[p_{\xi}=F_{\xi}^{'}(x)=\left\{ \begin{aligned} & 0, \quad \quad \quad \quad при \quad x< -R, \\ & \frac{2\sqrt{R^2-x^2}}{\pi{R^2}}, \quad \space \space при \quad x\in[-R,R], \\ & 0, \quad \quad \quad \quad \quad при \space \space x > R. \\ \end{aligned} \right.\]

Ответ

Piecewise( (0, (t <= -R)

( t>=R)), (R/(2pi(R^2-t^2)), (t < R) & (t > -R)))