4.2 Производящие функции

4.2 Производящие функции

модуль 4.2 шаг 4

---

Пусть случайная величина \(\xi\) имеет геометрическое распределение с параметром \(p\in(0,1)\), а случайная величина \(\eta\) — биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\). Найдите производящие функции этих распределений. В качестве ответа введите в систему выражение \(G_{\xi}(z)∗x+G_{\eta}(z)∗y\).

Решение

Найдем производящую функцию \(G_{\xi}(z)\) при \(|z|\leqslant{1}\): \(G_{\xi}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}P(\xi=k)z^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}p(1-p)^{k-1}z^k=pz \sum\limits_{k=0}^{\infty}((1-p)z)^{k-1}=\frac{pz}{1-(1-p)z}.\)

В последнем равенстве мы воспользовались формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии. Найдем производящую функцию \(G_{\eta}\):

\[G_{\eta}(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}P(\eta=k)z^k=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k p^k(1-p)^{n-k}z^k=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k (pz)^k(1-p)^{n-k}=(pz+1-p)^n.\]

Ответ

(zp/(1-(1-p)z))x+((pz+1-p)^n)*y

модуль 4.2 шаг 5

---

Пусть \(p\in(0,1)\). Случайная величина \(\xi\) принимает натуральные значения с вероятностями \(P\left(\xi = k \right)=-\frac{1}{ln(1-p)}\cdot\frac{p^k}{k}\). Найдите \(\mathbb{E}\xi\) и \(\mathbb{D}\xi\). В качестве ответа введите в систему выражение \(\mathbb{E}\xi*x+\mathbb{D}\xi*y\).

Решение

Ответ

-p/((1-p)ln(1-p))x-p(p+ln(1-p))/((1-p)^2(ln(1-p))^2)*y