3.5 Математическое ожидание

модуль 3.5 шаг 6

Для случайной величины $\xi$, имеющей функцию распределения

\[F_{\xi}(x)=\left\{ \begin{aligned} & 0, \quad \quad \quad \quad при \quad x< 0, \\ & 2x-x^2, \quad \space \space при \quad 0 \leq x < 1, \\ & 1, \quad \quad \quad \quad \quad при \space \space x \geq 1. \\ \end{aligned} \right.\]

по схеме, описанной в предыдущей теореме, постройте последовательность случайных величин $\xi_{n}$ и вычислите их математическое ожидание $\mathbb{E}\xi_n$. В ответе укажите $\mathbb{E}\xi_n$.

Решение

По схеме $\mathbb{E}\xi_n=\sum\limits_{k=0}^{4^n-1}{\frac{k}{2^n}P(A_k)}$. Заметим, что все слагаемые при $k \geqslant{0}$ обнулятся, так как, исходя из функции распределения, вероятность того, что $x \leqslant{1}$ равна 0. Тогда $$\displayline{ \mathbb{E}\xi_n=\sum\limits_{k=0}^{4^n-1}\frac{k}{2^n}P(A_k)=\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}{k\left(F_{\xi}\left(\frac{k+1}{2^n}-0\right)\right)}-F_{\xi}\left(\frac{k}{2^n}-0 \right) =
= \frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}{k\left(2 \cdot \frac{k+1}{2^n}-\left(\frac{k+1}{2^n} \right)^2 -2\cdot{\frac{k}{2^n}}-\left(\frac{k}{2^n} \right)^2 \right)}= \frac{1}{2^n}\sum\limits{k=0}^{2^n-1}{\left(\frac{2k}{2^n} - \frac{2k^2+k}{2^{2n}}\right)} = \ = \frac{1}{2^n}\left(\frac{2}{2^n}\cdot{\frac{2^n(2^n-1)}{2}}-\frac{2}{2^{2n}}\cdot{\frac{2^n(2^n-1)(2\cdot{2^n}-1)}{6}} - \frac{1}{2^{2n}}\cdot{\frac{2^n(2^n-1)}{2}} \right) = \ = \frac{1}{3}-2^{-n+1}=\frac{2^{-2n-1}}{3}.}

В предпоследнем равенстве использованы известные формулы суммирования первых $m$ натуральных чисел и квадратов первых $m$ натуральных чисел. В последнем равенстве раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые.

Ответ

1/2n * (Sum((k/2n)2 - 2 * k/2n , (k, 1, 2n-1)) + 2n - 1)