3.4 Совместное распределение

модуль 3.4 шаг 4

Совместная функция распределения \(F_{\xi,\eta}\) задана формулой

\[F_{\xi,\eta}(x,y)=\left\{ \begin{aligned} & 0 \quad \quad \quad \quad \quad при \quad x\leq 0 \quad или y\leq 0, \\ & \sin{x}\sin{y} \quad \space \space при \quad 0 x < \frac{\pi}{2} \quad и \quad 0<y<\frac{\pi}{2}, \\ & \sin{x} \quad \quad \quad \quad при \space \space 0< x <\frac{\pi}{2} \quad и \quad y\geq\frac{\pi}{2}, \\ & \sin{y} \quad \quad \quad \quad при \space \space x \geq\frac{\pi}{2} \quad и \quad 0<y<\frac{\pi}{2}, \\ & 1 \quad \quad \quad \quad \quad \quad при \space \space x \geq\frac{\pi}{2} \quad и \quad y\geq\frac{\pi}{2}. \\ \end{aligned} \right.\]

Найдите вероятность \(P(\frac{\pi}{6}<\xi\leq\frac{\pi}{3}, 0\leq\eta<\frac{\pi}{4})\). Ответ дайте в виде десятичной дроби, в случае необходимости округленной до трех знаков после запятой.

Решение

Так как вероятность того, что хотя бы одна из наших величин неположительна, равна нулю, то

\[\displaylines{ P(\frac{\pi}{6}<\xi\leq\frac{\pi}{3}, 0\leq\eta<\frac{\pi}{4})=P(\xi\leq\frac{\pi}{3},\eta<\frac{\pi}{4})-P(\xi\leq\frac{\pi}{6},\eta<\frac{\pi}{4})= \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad\quad\quad = F_{\xi,\eta}(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4})-F_{\xi,\eta}(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})=\sin{\frac{\pi}{3}}\sin{\frac{\pi}{4}}-\sin{\frac{\pi}{6}}\sin{\frac{\pi}{4}}= \\ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\]

Ответ: 0.258

модуль 3.4 шаг 5

Случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) независимы и имеют одну и ту же функцию распределения

\[F(x)=\left\{ \begin{aligned} & 0 \quad \quad \quad при \quad x\leq 1, \\ & \frac{x-1}{2} \quad \space \space при \quad 1 < x < 3, \\ & 1 \quad \quad \quad при \space \space x \geq 3. \\ \end{aligned} \right.\]

Найдите вероятность \(P(1,3\leq\xi\leq 2,4)\) и \(P(1,2\leq\xi\leq 2,6; 1,2\leq\eta<2,6)\). В ответе укажите найденные вероятности в виде десятичных дробей, разделенных пробелом.

Решение

Первую вероятность вычислим так

\[P(1,3\leq\xi<2,4)=F(2,4)-F(1,3)=\frac{2,4-1}{2}-\frac{1,3-1}{2}=0,7-0,15=0,55.\]

А вторую так:

\[\displaylines{ P(1,2\leq\xi<2,6;1,2\leq\eta < 2,6)= \\ =P(\xi<2,6;\eta<2,6)-P(\xi<1,2;\eta<2,6)-P(\xi<2,6;\eta<1,2)+P(\xi<1,2;\eta<1,2)= \\ = F(2,6)F(2,6)-F(1,2)F(2,6)-F(2,6)F(1,2)+F(1,2)F(1,2)= \\ = 0,8^2-2\cdot0,8\cdot0,1+0,1^2=0,49.}\]

Ответ: 0.55 0.49

модуль 3.4 шаг 6

Случайная величина \(\xi\) принимает лишь значения 0 и 1 и делает это с равными вероятностями. Случайная величина \(\eta\) не зависит от \(\xi\) и имеет функцию распределения

\[F_{\eta}(x)=\left\{ \begin{aligned} & 0 \quad \quad \quad при \quad x\leq 0, \\ & x \quad \space \space при \quad 0 < x < 1, \\ & 1 \quad \quad \quad при \space \space x \geq 1. \\ \end{aligned} \right.\]

Найдите функцию распределения случайной величины \(\xi\eta\). В ответе укажите функцию \(F_{\xi\eta}(x)\).

Решение

По определению функции распределения \(F_{\xi\eta}=P(\xi\eta\leq x)\). Найдем вероятность нужного события по формуле полной вероятности:

\[\displaylines{ F_{\xi\eta}(x)=P(\xi\eta\leq x)=P(\xi\eta\leq x \space | \space \xi=0)P(\xi=0)+P(\xi\eta\leq x \space | \space \xi=1)P(\xi=1) = \\ = P(0\leq x | \xi=0)P(\xi=0)+P(\eta \leq x | \xi=1)P(\xi=1)=\mathbf{1}_{[0,\infty)}(x)\cdot\frac{1}{2}+P(\eta\leq x)\cdot \frac{1}{2} = \\ = \mathbf{1}_{[0,\infty)}(x)\cdot\frac{1}{2}+F_{\eta}(x)\cdot\frac{1}{2}.}\]

Ответ:

Piecewise( (0, (x <=0) ), (1/2+x/2, (x >0) & (x<=1) ), (1, x>1))

модуль 3.4 шаг 7

Пусть \(\xi\) и \(\eta\) — независимые случайные величины с функциями распределения \(F(x)=F_{\xi}(x)\) и \(G(x)=F_{\eta}(x)\). Найдите функцию распределения следующих случайных величин:

\[\zeta_1=\max{\{\xi, \eta\}}\]
\[\zeta_2=\min{\{\xi, \eta\}}\]
\[\zeta_3=\max{\{\xi, 2\eta\}}\]

В качестве ответа введите в систему выражение \(F_{\zeta_1}(x)*a+F_{\zeta_2}(x)*b+F_{\zeta_3}(x)*c\).

Решение

По определению

\[\displaylines{ F_{\zeta_1}(x)=P(\zeta_1\leq x)=P(\max{\{\xi,\eta\}}\leq x)=P(\xi \leq x)P(\eta \leq x)=F(x)G(x). }\]

В предпоследнем равенстве мы воспользовались независимостью случайных величин \(\xi\) и \(\eta\).

Снова воспользуемся определением и независимостью случайных величин \(\xi\) и \(\eta\):

\[\displaylines{ F_{\zeta_2}(x)=P(\zeta_2 \leq x)=P(\min{\{\xi, \eta\}}\leq x)=1-P(\min{\{\xi,\eta\}}>x)=1-P(\xi>x,\eta>x)= \\ =1-P(\xi>x)P(\eta>x)=1-(1-P(\xi \leq x))(1-P(\xi\leq x))(1-P(\eta \leq x )) = \\ = 1-(1-F_{\xi}(x))(1-F_{\eta}(x))=F(x)+G(x)-F(x)G(x). }\]

Аналогично

\[\displaylines{ F_{\zeta_3}(x)=P(\zeta_3 \leq{x})=P(\max{\{\xi, 2\eta \}} \leq{x})=P(\xi \leq{x}, 2\eta\leq{x})= \\ = P(\xi\leq{x},\eta\leq{\frac{x}{2}})=P(\xi\leq{x})P(\eta\leq{\frac{x}{2}})=F_{\xi}(x)F_{\eta}(\frac{x}{2})=F(x)G(\frac{x}{2}). }\]

Ответ:

F(x)G(x)a + (F(x) + G(x) - F(x)G(x)) * b + F(x)G(x/2)*c

модуль 3.4 шаг 8

Пусть \(\xi\), \(\eta\) и \(\zeta\) — независимые случайные величины, \(\xi\) и \(\eta\) имеют функции распределения \(F(x)=F_{\xi}(x)\) и \(G(x)=F_{\eta}(x)\), а \(\zeta\) принимает значения 1 и 0 с вероятностями \(p\) и \(1-p\) соответственно. Найдите функцию распределения следующей случайной величины \(\zeta\xi+(1-\zeta)\eta\). В ответе укажите функцию \(F_{\zeta\xi+(1-\zeta)\eta}(x)\).

Решение

По определению \(F_{\zeta\xi+(1-\zeta)\eta}(x)=P(\zeta\xi+(1-\zeta)\eta \leq{x})\). Для нахождения последней вероятности воспользуемся формулой полной вероятности:

\[\displaylines{P(\zeta\xi+(1-\zeta)\eta \leq{x})= \\ = P(\zeta\xi + (1-\zeta)\eta\leq{x}|\zeta=0)P(\zeta=0)+P(\zeta\xi+(1-\zeta)\eta\leq{x}|\zeta=1)P(\zeta=1)= \\ = P(\eta\leq{x}|\zeta=0)P(\zeta=0)+P(\xi\leq{x}|\zeta=1)P(\zeta=1) = \\ =P(\eta\leq{x})P(\zeta=0)+P(\xi\leq{x})P(\zeta=1)=F_{\eta}(x)(1-p)+F_{\xi}(x)p=pF(x)+(1-p)G(x)}\]

Ответ:

F(x)p + G(x)(1-p)