3.3 Случайные величины
модуль 3.3 шаг 4
Случайная величина \(\xi\) принимает значения 1, 2, 3, 4 и 5 с вероятностями 0,1,0,3, 0,2, 0,15 и 0,25 соответственно. Найдите ее функцию распределения \(F_{\xi}(x)\).
Напомним, что кусочно заданные функции вводятся в систему следующим образом: если
\[\left\{ \begin{aligned} & x \space\space при \space\space x<1, \\ & 5 \space\space при \space\space x=1, \\ & x^2 \space\space при \space\space 1<x<2, \\ & 2x \space\space при \space\space x\geq2, \end{aligned} \right.\]то написать надо
Piecewise( (x, x < 1), (5, x==1), (x^2, (x > 1) & (x < 2)), (2*x, x >=2) )
Решение
Вероятность того, что \(xi<1\), равна нулю. Вероятность того, что \(\xi\leq x\) при \(1\leq x< 2\) равна 0,1, так как единственное подходящее значение \(\xi\) — это 1. Вероятность того, что \(\xi\leq x\) при \(2\leq x<3\) равна 0,1+0,3=0,4, так как подходящих значений для \(\xi\) два —1 и 2. Продолжая рассуждения, дойдем до \(\xi\leq x\), где \(x\geq 5\). В этот промежуток попали все значения \(\xi\), значит, вероятность равна 1.
Ответ
Piecewise( (0, x < 1), (0.1, (x >= 1) & (x < 2)), (0.4, (x >= 2) & (x < 3)), (0.6, (x >= 3) & (x < 4)), (0.75, (x >= 4) & (x<5)), (1, (x >= 5)))
модуль 3.3 шаг 5
Случайная величина \(\xi\) имеет функцию распределения \(F_{\xi}\), определенную равенством
\[F_{\xi}(x)=\left\{ \begin{aligned} & 4^x \space\space при \space\space x\leq1, \\ & 1 \space\space при \space\space x>0. \\ \end{aligned} \right.\]Найдите вероятности \(P(\xi\leq -2)\) и \(P(-1<\xi<0)\). В ответе укажите найденные вероятности в виде десятичных дробей, разделенных пробелом.
Решение
По определению функции распределения: \(P(\xi\leq-2)=F_{\xi}(-2)=4^{-2}=\frac{1}{16}\) и \(P(-1<\xi<0)=\lim\limits_{x \to 0-}F_{\xi}(x)-F_{\xi}(-1)=\lim\limits_{x \to 0-}4^x-4^{-1}=\frac{3}{4}\).
Ответ: 0.0625 0.75
модуль 3.3 шаг 6
Функция распределения случайной величины \(\xi\) имеет вид \(F_{\xi}=a+b arctg x\). Найдите параметры \(a\) и \(b\). В ответе укажите найденные значения в виде разделенных пробелом десятичных дробей (в случае необходимости округленных до трех знаков после запятой).
Решение
По свойствам функции распределения:
\[1=\lim\limits_{x \to \infty}=\lim\limits_{x \to \infty}(a+b arctg x)=a+b\cdot\frac{\pi}{2};\] \[0=\lim\limits_{x \to -\infty}=\lim\limits_{x \to -\infty}(a-b\cdot\frac{\pi}{2}).\]Решая систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, получаем \(a=\frac{1}{2}\) и \(b=\frac{1}{\pi}\).
Ответ 0.5 0.3183098861
модуль 3.3 шаг 7
Случайная величина \(\xi\) имеет непрерывную функцию распределения \(F(x)\). Найдите функцию распределения случайной величины \(\eta=3-2\xi\). Ответ, конечно, будет зависеть от \(F\), поэтому ее можно использовать при вводе ответа в систему.
Решение
Напишем определение \(F_{\eta}\):
\[\displaylines{ F_{\eta}=P(\eta\leq x)=P(3-2\xi\leq x)=P(2\xi\geq 3-x)=P(\xi\geq\frac{3-x}{2})=1-P(\xi<\frac{3-x}{2})\overset{*}{=} \\ \overset{*}{=}1-P(\xi\le\frac{3-x}{2})=1-F(\frac{3-x}{2}).}\]В равенстве, помеченном звездочкой, мы воспользовались непрерывностью функции \(F.\)
Ответ 1-F((3-x)/2)
модуль 3.3 шаг 8
В квадрате \([0,1]^2\) наугад выбирается точка \(\omega=(\omega_{1},\omega_{2})\). Случайная величина \(\xi\) задается равенством \(\xi(\omega)=\omega_{1}+\omega_{2}\). Найдите функцию распределения \(F_{\xi}(x)\).
Решение
\[F_{\xi}(x)= \left\{ \begin{aligned} & 0 \space \space при \space \space x<0, \\ & \frac{x^2}{2} \space \space при \space \space 0\leq x \leq 1, \\ & 1-\frac{(2-x)^2}{2} \space \space при \space \space 1< x \leq 2, \\ & 1 \space \space при \space \space x>2. \\ \end{aligned} \right.\]Построим квадрат \([0,1]^2\) в системе координат \(\omega_{1}O\omega_{2}\). Так как его площадь равна 1, то вероятность \(P(\xi\leq k)\) будет равна площади множества точек внутри этого квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству \(\omega_1+\omega_2 \leq k\). Такое неравенство задает множество \(A\) точек под прямой \(\omega_2=k-\omega_1\).
При \(k<0\) множество \(A\) не пересекается с квадратом, так что
\[F_{xi}=P(\xi\leq x) =0 \space \space при \space \space x<0.\]При \(k\in[0;1]\) множество \(A\) пересекается с квадратом по равнобедренному прямоугольному треугольнику с катетом равным \(k\), так что
\[F_{\xi}=P(\xi \leq x)=\frac{x^2}{2} \space \space при \space \space x\in[0,1].\]При \(k\in(1;2]\) пересечение множества A с квадратом состоит из всех точек квадрата за исключением равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом равным \(2−k\), так что
\[F_{\xi}=P(\xi\leq x)=1-\frac{(2-x)^2}{2} \space \space x\in(1,2].\]При \(k>2\) пересечение множества \(A\) с квадратом состоит из всех точек квадрата, так что
\[F_{\xi}(x)=P(ξ\leq x)=1 \space \space при \space \space x>2.\]Ответ
Piecewise( (0, x < 0), (x^2/2, (x >= 0) & (x < 1)), ((1-(2-x)^2/2), (x >= 1) & (x < 2)), (1, (x >= 2) ))
модуль 3.3 шаг 9
На отрезке [0,1] можно выбрать такое семейство подмножеств \(\mathbb{F}\), образующих σ-алгебру, что оно будет содержать все промежутки, а на нем корректно определить значение вероятности так, что вероятность промежутка будет его длиной.
Рассмотрим получившееся вероятностное пространство. На нем зададим случайную величину \(\xi\), определенную по формуле
\[\xi(\omega)=\left\{ \begin{aligned} & 1 \space\space при \space \space \omega \in[0,\frac{1}{2}), \\ & 2\omega^2 \space \space при \space \space \omega [\frac{1}{2},1]. \\ \end{aligned} \right.\]Найдите функцию распределения \(F_{\xi}(x)\). Не забывайте, что во всех ответах с формулами десятичные дроби должны быть с точкой, а не с запятой.
Решение
\[F_{\xi}(x)= \left\{ \begin{aligned} & 0 \space \space при \space \space x<\frac{1}{2}, \\ & \sqrt{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2} \space \space при \space \space \frac{1}{2}\leq x < 1, \\ & sqrt{\frac{x}{2}} \space \space при \space \space 1\leq x \leq 2, \\ & 1 \space\space при \space\space x>2. \\ \end{aligned} \right.\]Для наглядности изобразим график \(\xi(\omega)\). Заметим, что \(\xi\geq\frac{1}{2}\), поэтому \(F_{\xi}=P(\xi\leq x)=0 \space при \space x<\frac{1}{2}.\)
При \(x\in[\frac{1}{2},1)\) под прямой \(\xi=x\) находится лишь кусок параболы. Точка пересечения прямой \(\xi=x\) и параболы имеет координаты \((\sqrt{\frac{x}{2}}, x)\), то есть длина подходящего промежутка равна \(\sqrt{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}\). Следовательно, \(F_\xi(x)=P(\xi\leq x)=\sqrt{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2} \space при \space x\in[\frac{1}{2},1]\). При \(x\in[1,2)\) под прямой \(\xi=x\) находятся отрезок и кусок параболы. Точка пересечения прямой \(\xi=x\) и параболы имеет координаты \((\sqrt{\frac{x}{2}},x)\), то есть длина подходящего промежутка равна \(\sqrt{\frac{x}{2}}\). Следовательно, \(F_{\xi}=P(\xi\leq x)=\sqrt{\frac{x}{2}} \space x\in[1,2)\). Поскольку всегда выполнено неравенство \(\xi\leq2,F_{\xi}=P(\xi\leq x)=1 \space при \space x\geq2.\)
Ответ Piecewise( (0, x < 1/2), (sqrt(x/2)-1/2, (x >= 1/2) & (x < 1)), (sqrt(x/2), (x >= 1) & (x < 2)), (1, (x >= 2) ))