3.1 Геометрическая вероятность

модуль 3.1 шаг 6

В квадрате со стороной 1 наугад выбирается точка A. Найдите вероятности следующих событий:

расстояние от точки A до фиксированной стороны квадрата не превосходит $\frac{1}{4}$;
расстояние от точки A до ближайшей стороны квадрата не превосходит $\frac{1}{4}$;
расстояние от точки A до центра квадрата не превосходит $\frac{1}{4}$;
расстояние от точки A до фиксированной вершины квадрата не превосходит $\frac{1}{4}$.

В ответе укажите найденные вероятности в виде разделенных пробелом десятичных дробей (в случае необходимости округленных до трех знаков после запятой).

Решение

Закрасим подходящие нам области квадрата и вычислим их площади. Для нахождения вероятности останется поделить на площадь квадрата, то есть на 1.

Расстояние от точки A до фиксированной стороны квадрата не превосходит $\frac{1}{4}$. Не умаляя общности считаем, что зафиксирована верхняя сторона, тогда $P=S=\frac{1}{4}$.

Расстояние от точки A до ближайшей стороны квадрата не превосходит $\frac{1}{4}$, тогда $P=S=\frac{3}{4}$.

Расстояние от точки A до центра квадрата не превосходит $\frac{1}{4}$. Подойдет круг с центром в центре квадрата и радиусом $\frac{1}{4}$, тогда $S=\pi\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{\pi}{16}$.

Расстояние от точки A до фиксированной вершины квадрата не превосходит $\frac{1}{4}$. Не умаляя общности считаем, что зафиксирована правая верхняя вершина. Тогда подойдет четверть круга с центром в этой вершине и радиусом $\frac{1}{4}$. Следовательно, $P=S=\frac{1}{4}\cdot\pi\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{\pi}{64}$.

Ответ: 0.25 0.75 0.196 0.049

модуль 3.1 шаг 7

Дано фиксированное число n⩾4. Две точки выбираются наудачу из отрезка [−n,n]. Пусть p и q — координаты этих точек. Найдите вероятность того, что квадратный трехчлен $x^2+px+q$ имеет вещественные корни.

Решение

Для того, чтобы квадратный трехчлен имел корни, необходима и достаточна неотрицательность дискриминанта, то есть нужно найти вероятность того, что $p^2-4q\geq0$ . Построим систему координат с вертикальной осью $Oq$ и горизонтальной $Op$. Выбрать точку внутри квадрата, ограниченного прямыми p=±n и q=±n, означает то же, что выбрать два числа из отрезка $[−n;n]$.

Найдем площадь множества точек внутри этого квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству $q\leq\frac{p^2}{4}$. Это множество точек под параболой $q(p)=\frac{p^2}{4}$. Заметим, что при n⩾4 выполнено $q(n)=\frac{n^2}{4}\geq n$, так что парабола пересекает лишь верхнюю сторону квадрата. Найдем координаты точек пересечения из уравнения $n=\frac{p^2}{4}$, то есть $p=\pm2\sqrt{n}$.

Площадь заштрихованной части находится как сумма площадей трех прямоугольников и подграфика параболы:

\[S=2n^2+2n(n-2\sqrt{n})+\int\limits_{-2\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}} \frac{p^2}{4)}dp=4n^2-4n\sqrt{n}+\frac{4}{3}n\sqrt{n}=4n^2-\frac{8}{3}n\sqrt{n}.\]

Осталось лишь поделить площадь этого множества на площадь всего квадрата, равную $4n^2$:

\[P=\frac{4n^2-\frac{8}{3}n\sqrt{n}}{4n^2}=1-\frac{2}{3\sqrt{n}}.\]

Ответ: 1-2/3*(1/sqrt(n))

модуль 3.1 шаг 8

Стержень длины ℓ разломан в двух наудачу выбранных точках. Найдите вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.
Стержень длины ℓ разломан в двух наудачу выбранных точках. Найдите вероятность того, что средняя часть (т.е. не имеющая общих концов с исходным стержнем) имеет длину, большую 2ℓ.

В ответе укажите найденные вероятности в виде разделенных пробелом обыкновенных дробей.

Указание . Выбрать две точки на отрезке — все равно, что выбрать одну точку в квадрате.

Решение

Для того, чтобы из отрезков можно было составить треугольник, необходимо и достаточно того, чтобы сумма любых двух отрезков была больше третьего.

1) Представим стержень как отрезок [0,ℓ]. Пусть он разломан в точках a и b. Выбрать две точки на нем означает то же, что выбрать точку внутри квадрата [0,ℓ]×[0,ℓ]. Нарисуем этот квадрат в системе координат aOb. Если b>a, то получившиеся отрезки имеют длины a, b−a и ℓ−b. Запишем три неравенства треугольника для них:

\[\left\{ \begin{aligned} & a+b-a>ℓ-b, \\ & a+ℓ-b>b-a, \\ & b-a+ℓ-b>a \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b>ℓ/2, \\ & b-a>ℓ/2, \\ & a<ℓ/2. \end{aligned} \right.\]

Множество точек, координаты которых удовлетворяют этой системе, составляют треугольник с площадью $$S_1=ℓ^2/8$.

Если b<a, то решение аналогично. Тогда множество точек, координаты которых удовлетворяют нужному соотношению, составляют треугольник с площадью $S_2=ℓ^2/8$ . Осталось лишь поделить сумму этих площадей на площадь квадрата, равную $ℓ^2$:

\[P=\frac{ℓ^2/8+ℓ^2/8}{ℓ^2}=\frac{1}{4}.\]

2) Аналогично выберем внутри квадрата [0,ℓ]×[0,ℓ] точку. Если b>a, то средний отрезок имеет длину b−a. Поэтому нас интересует когда b−a>ℓ/2. Множество точек, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, составляют треугольник с площадью $S_1=ℓ^2/8$.

Если b<a, то решение аналогично. Тогда множество точек, координаты которых удовлетворяют нужному неравенству, составляют треугольник с площадью $S_2=ℓ^2/8$.

Ответ: 1/4 1/4