2.4 Закон больших чисел
модуль 2.4 шаг 3
Характеристическая (индикаторная) функция события позволяет определить понятие условного математического ожидания. Если \(A\) — некоторое случайное событие, для которого \(P(A)>0\), а \(\xi\) — случайная величина, то условное математическое ожидание \( \mathbb{E}(\xi|A) \) определяется по формуле
\[\mathbb{E}(\xi|A)=\frac{\mathbb{E}(\xi \textbf{1}_A )}{P(A)}.\]По сути это математическое ожидание, в определении которого все вероятности вида \(P(\xi=x)\) заменены на условные вероятности \(P(\xi=x|A)\). По линейности математического ожидания сразу получаем формулу полного математического ожидания. А именно, если события \(A_1,A_2,...,A_n\) попарно несовместны и \(A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega\) то
\[\mathbb{E}\xi=\mathbb{E}(\xi|A_1)P(A_1)+\mathbb{E}(\xi|A_2)P(A_2)+...+\mathbb{E}(\xi|A_n)P(A_n).\]С помощью понятия условного математического ожидания решите следующую задачу. Есть два игральных кубика: белый кубик правильный, а у черного кубика вероятности выпадания очков пропорциональны величинам этих очков. Подбрасывается правильная монета. Если выпал орел, то подбрасывается белый кубик, а если решка, то — черный. Случайная величина \(\xi\) — количество выпавших очков. Найдите математическое ожидание \(\xi\). Ответ укажите в виде обыкновенной дроби.
Решение
Найдем сначала математическое ожидание числа очков на черном кубике (для белого мы уже считали ответ: \(\mathbb{E}=\frac{7}{2}\). Вероятность выпадения \(k\) очков на черном кубике равна \(\frac{k}{21}\), поэтому
\[\mathbb{E}=1\cdot\frac{1}{21}+2\cdot\frac{2}{21}+3\cdot\frac{3}{21}+4\cdot\frac{4}{21}+5\cdot\frac{5}{21}+6\cdot\frac{6}{21}=\frac{91}{21}=\frac{13}{3}.\]Рассмотрим теперь два события: \(A$$\) означает, что выпал орел, \(B\), что выпала решка. Тогда
| $$\mathbb{E}(\xi | A)=\frac{7}{2}\(и\)\mathbb{E}(\xi | B)=\frac{13}{3}.$$ |
Следовательно,
\[\mathbb{E}\xi=\mathbb{E}(\xi|A)P(A)+\mathbb{E}(\xi|B)P(B)=\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{13}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{47}{12}.\]Ответ 47/12
модуль 2.4 шаг 5
В лотерее на выигрыши уходит 45% от стоимости проданных билетов. Каждый билет стоит 100 рублей. Оцените сверху вероятность выиграть 5000 рублей или больше. В ответе приведите найденную оценку в виде десятичной дроби, в случае необходимости округленной до трех знаков после запятой.
Решение
Рассмотрим случайную величину \(\xi\) равную величине выигрыша на один лотерейный билет. Поскольку на выигрыши уходит 45% денег, полученных от продажи билетов, математическое ожидание \(\mathbb{E}\xi\) равно 45% от стоимости билета, то есть 45 рублей. По неравенству Маркова
\[P(\xi)\geq 5000)\leq\frac{\mathbb{E}\xi}{5000}=\frac{45}{5000}=0,009.\]Ответ 0.009
модуль 2.4 шаг 7
Правильная игральная кость подбрасывается 500 раз. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что среднее арифметическое числа выпавших очков отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 0,2. В ответе приведите найденную оценку в виде десятичной дроби, в случае необходимости округленной до трех знаков после запятой.
Решение
Рассмотрим случайную величину \(\xi\), равную среднему арифметическому числа выпавших очков при 500 подбрасываниях игральной кости, и случайную величину \(\eta\), равную количеству выпавших очков при однократном подбрасывании кости. Поскольку \(\xi\) есть \(\frac{1}{500}\) от суммы пятисот случайных величин, одинаково распределенных с \(\eta\), \(\mathbb{E}\xi=\mathbb{E}\eta=\frac{7}{2}\). Тогда по неравенству Чебышева
\[P(|\xi-\mathbb{E}\xi|\leq 0.2)=1-P(|\xi- \mathbb{E}\xi|>0.2)\geq1-\frac{\mathbb{D}\xi}{0.2^2}\]Таким образом, осталось найти \(\mathbb{D}\xi\). Для этого вспомним, что \(\xi\) есть \(\frac{1}{500}\) от суммы пятисот независимых случайных величин, одинаково распределенных с \(\eta\). Тогда \(\mathbb{D}\xi=\frac{1}{500^2}\cdot 500 \cdot \mathbb{D}\eta=\frac{1}{500}\cdot\frac{35}{12}\). Следовательно,
\[P(|\xi-\mathbb{E}\xi|)\leq0.2)\geq 1-\frac{\frac{35}{12}\cdot\frac{1}{500}}{0.2}=\frac{41}{48}\approx0.854\]Ответ 0.854
модуль 2.4 шаг 11
С помощью неравенства Чебышёва (в том виде, в котором оно используется для доказательства закона больших чисел) оцените вероятность того, что в результате подбрасывания игральной кости в течение 400 раз относительная частота появления на верхней грани шестерки отклонится от вероятности этого события (по абсолютной величине) не более чем на 0,03. В ответе приведите найденную оценку в виде десятичной дроби, в случае необходимости округленной до трех знаков после запятой.
Решение
Рассмотрим случайную величину \(\xi_k\), которая обращается 1, если в результате k-го бросания выпала шестерка. По условию \(P(\xi_k=1)=p=\frac{1}{6}\). Пусть \(S_n=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n\). По неравенству Чебышёва
\[P(|\frac{S_n}{n}-p|\geq \epsilon) \leq\frac{p(1-p)}{n\epsilon^2}.\]В задаче n=400 и ε=0,03. Тогда
\[P\left(\left|\frac{S_{400}}{400}-\frac{1}{6}\right|\geq 0.03\right)\leq\frac{\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}{400\cdot0.03^2}\approx0.3858.\]Следовательно,
\[P\left(\left|\frac{S_{400}}{400}-\frac{1}{6}\right|\geq 0.03\right)\approx1-0.3858=0.6142.\]Здесь мы подставили ε=0,03, а не чуть большее как должно было бы следовать из условия, поскольку если увеличить ε, например, на \( 10^{-100} \) это практически не скажется на найденной вероятности.
Ответ: 0.614