2.3 Дисперсия

модуль 2.3 шаг 5

Отметьте верные утверждения.

Решение

Для независимых случайных величин ξ и η дисперсия линейна, т. е. для постоянных a и b верно соотношение \(\mathbb{D}(a\xi+b\eta)=a\mathbb{D}\xi+b\mathbb{D}\eta\)
Математическое ожидание всегда неотрицательно.
Если к случайной величине прибавить постоянную, то математическое ожидание не изменится.
\(\mathbb{E}\xi=\mathbb{E}(-\xi)\)
\(\mathbb{D}\xi=\mathbb{D}(-\xi)\).
Равенство \(\mathbb{D}(\xi+\eta)=\mathbb{D}\xi+\mathbb{D}\eta\) выполняется исключительно для независимых случайных величин \(\xi\) и \(\eta\).
Если случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) независимы, то \(\mathbb{E}(\xi\eta)=\mathbb{E}\xi\mathbb{E}\eta\).
Для любых случайных величин \(\xi\) и \(\eta\) имеет место равенство \(\mathbb{E}(\xi\eta)=\mathbb{E}\xi\mathbb{E}\eta\).
Если случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) независимы, то \(\mathbb{D}(\xi-\eta)=\mathbb{D}\xi-\mathbb{D}\eta\).

Ответ/Решение

модуль 2.3 шаг 6

Дискретная случайная величина \(\xi\) может принимать значения \(y_1=1, y_2=2\) и \(y_3=3\). Найдите вероятности, соответствующие этим значениям, если математическое ожидание и дисперсия известны: \(\mathbb{E}\xi=2\) и \(\mathbb{D}\xi=0.89\). В ответе укажите соответствующие вероятности в виде десятичных дробей, разделенных пробелами.

Решение

Ответ

0.4 0.1 0.5

модуль 2.3 шаг 7

Случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) независимы и имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием e и дисперсией d. Найдите коэффициент корреляции cлучайных величин \(a\xi+b\eta\) и \(a\xi-b\eta\) (a и b — вещественные числа).

Решение

Ответ

(a^2-b^2)/(a^2+b^2)

модуль 2.3 шаг 9

Немного обобщим схему Бернулли.

Пусть \(p,q∈[0,1]\) и \(p+q⩽1\). Исходом одного испытания могут быть числа \(0\) или \(±1\), причем \(1\) с вероятностью \(p\), \(−1\) с вероятностью \(q\), а \(0\) с вероятностью \(1−p−q\). Провели \(n\) таких независимых испытаний. Случайная величина \(\xi\) равна количеству \(1\), из которого вычли количество \(−1\) (в частности, при \(q=0\) получаем обычную схему Бернулли с \(n\) испытаниями). Найдите математическое ожидание и дисперсию \(\xi\). В ответе укажите выражение \(\mathbb{E}*x+\mathbb{D}*y\).

Решение

Ответ

n(p-q)x+n(( q + p) - (p^2 - 2pq + q ^ 2))y

модуль 2.3 шаг 10

Брошены две правильные игральные кости. Пусть ξ — число очков на первой кости, а η — большее из двух выпавших чисел. Найдите математические ожидания, дисперсии и ковариацию случайных величин \(\xi\) и \(\eta\). В ответе приведите найденные величины в порядке \(\mathbb{E}\xi\), \(\mathbb{E}\eta\), \(\mathbb{D}\xi\), \(\mathbb{D}\eta\), \(cov(\xi,\eta)\), в виде обыкновенных дробей, разделенных пробелами.

Решение

Ответ

21/6 161/36 35/12 2555/1296 35/24

модуль 2.3 шаг 11

Число ξ выбирается случайным образом из множества целых чисел {1,2,3,4}. Затем из того же множества выбирается число η, большее ξ или равное ему. Найдите \(\mathbb{E}\eta\), \(\mathbb{D}\eta\) и \(cov(\xi\eta)\). В ответе приведите три обыкновенные дроби, разделенные пробелами.

Решение

Ответ

Ответ 13/4 41/48 5/8