2.1 Случайные величины
модуль 2.1 шаг 4
В урне a черных шаров и b белых. Из нее последовательно вынимаются два шара. Случайная величина \(\xi\) равна количеству вынутых черных шаров. Найдите распределение этой случайной величины. Если в ответе значениям 0, 1 и 2 соответствуют вероятности \(p_0\), \(p_1\) и \(p_2\), то введите в систему выражение \(p_0*x+p_1*y+p_2*z\).
Решение
\(P(\xi=0)=\frac{b(b-1)}{a+b-1}, P(\xi=1)=\frac{2ab}{(a+b)(a+b-1)}\) и \(P(\xi=2)=\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}.\)
Случайная величина \(\xi\) может принимать лишь значения 0, 1 и 2. Значение 0 соответствует событию, когда оба вынутых шара — белые. Вероятность вынуть первым белый шар равна \(\frac{b}{a+b}\) после этого остается \( (b−1) \) белый шар из \(a+b−1\) шара, поэтому вероятность вынуть вторым белый шар (при условии, что первый — белый) равна \(\frac{b-1}{a+b-1}\). Таким образом, вероятность вынуть оба белых шара равна \(\frac{b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)}\) и, значит, \(P(\xi=0)=\frac{b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)}\). Аналогично находим, что вероятность вынуть оба черных шара равна \(\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}\), поэтому \(P(\xi=2)=\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}\). Следовательно,
\[\displaylines{ P(\xi=1)=1-P(\xi=0)-P(\xi=2)= \\ =1-\frac{b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)}-\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}=\frac{2ab}{(a+b)(a+b-1)}}.\]Ответ
x(b(b-1)/((a+b)(a+b-1))) + y((2ab)/((a+b)(a+b-1))) + z((a(a-1))/((a+b)(a+b-1)))
модуль 2.1 шаг 5
В урне \(a\) черных шарови \(b\) белых. Из нее по схеме с возвращением вынимаются два шара. Случайная величина \(\xi\) равна количеству вынутых черных шаров. Найдите распределение этой случайной величины. Если в ответе значениям 0, 1 и 2 соответствуют вероятности \(p_0\), \(p_1\) и \(p_2\), то введите в систему выражение \(p_0*x+p_1*y+p_2*z\).
Решение
\(P(\xi=0)=\frac{b^2}{(a+b)^2}, P(\xi=1)=\frac{2ab}{(a+b)^2}\) и \(P(\xi=2)=\frac{a^2}{(a+b)^2}.\) Случайная величина \(\xi\) может принимать лишь значения 0, 1 и 2. Значение 0 соответствует событию, когда оба вынутых шара — белые. Вероятность вынуть белый шар равна \(\frac{b}{a+b}\), поэтому вероятность оба раза вынуть белый шар равна \(\frac{b^2}{(a+b)^2}\) . Таким образом, \(P(\xi=0)=\frac{b^2}{(a+b)^2}.\) Аналогично находим, что вероятность вынуть оба раза черный шара равна \(\frac{a^2}{(a+b)^2}\), поэтому \(P(\xi=2)=\frac{a^2}{(a+b)^2}\) . Следовательно,
\[P(\xi=1)=1-P(\xi=0)-P(\xi=2)=1-\frac{b^2}{(a+b)^2}-\frac{a^2}{(a+b)^2}=\frac{2ab}{(a+b)^2}\]Ответ
(b^2/(a+b)^2)x+((2ab)/(a+b)^2)y+(a^2/(a+b)^2)*z
модуль 2.1 шаг 6
Подбрасываются три правильных игральных кубика, ξ, η и ζ — количество очков, выпавших на первом, втором и третьем кубике. Отметьте пары независимых случайных величин.
- \(\xi\) и \(\eta\)
- \(\xi\) и \(\xi+\eta\)
- \(\xi\) и \(\eta+\zeta\)
- \(\xi+\eta\) и \(\eta+\zeta\)
- \(\xi^2\) и \(\eta^3\)
- \(\xi+\eta\) и \(\zeta^2\)
- \(7-\xi\) и \(\eta+\zeta\)
- \(min\{\xi, \eta\}\) и \(max\{\xi, \zeta\}\)
- \(min\{\xi, \eta\}\) и \(max\{\xi, \eta\}\)
Решение
