1.8 Схема Бернулли
модуль 1.8 шаг 3
Даны иррациональное число 𝑝∈(0,1) и натуральное число 𝑛. Сравнив вероятности \(P(A_k)\) при соседних 𝑘 (события \(A_k\) определены в предыдущем видео), найдите при каком 𝑘 величина \(P(A_k)\) будет наибольшей. В качестве ответа приведите указанный номер 𝑘. Для записи формулы пригодится функция floor(x), обозначающая целую часть числа 𝑥.
Решение
Рассмотрим отношение вероятностей
\[\displaylines{\frac{P(A_{k+1})}{P(A_k)}=\frac{C_n^{k+i}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{C_n^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}=\frac{C_n^{k+1}p}{C_n^k(1-p)}= \\ = \frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\cdot{p}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot{(1-p)}}=\frac{k!(n-k)!\cdot{p}}{(k+1)!(n-k-1)!\cdot(1-p)}=\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}\]Сравним это отношение с единицей. Неравенство \(\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}>1\) эквивалентно неравенству \(k+1<(n+1)p\). Следовательно, пока \(k+1<(n+1)p\) вероятности \(P(A_k)\) будут увеличиваться, а когда станет \(k+1>(n+1)p\) вероятности начнут уменьшатся. По условию 𝑝 иррационально, поэтому равенство \(k+1=(n+1)p\) невозможно. Таким образом, самое большое значение вероятности будет при \(k=[(n+1)p]\).
Ответ floor(n*p+p)
модуль 1.8 шаг 5
По многолетним наблюдениям в районе обсерватории из 30 ноябрьских ночей ясных бывает в среднем 10. Группе астрономов, собирающихся сделать мировое открытие, выделено 7 ночей для наблюдений. Найдите вероятность того, что мировое открытие будет совершено, если для этого требуется по крайней мере 3 ясные ночи. В качестве ответа приведите обыкновенную дробь.
Решение По условию вероятность ясной ночи в ноябре равна \(\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\) и нужно найти вероятность того, что из семи ночей хотя бы три окажутся ясными. Т.е. мы имеем дело со схемой Бернулли с \(p=\frac{1}{3}, n=7\) и \(k=3\). Вероятность соответствующего события равна
\[\displaylines{C_7^3p^3(1-p)^4+C_7^4p^4(1-p)^3+C_7^5p^5(1-p)^2+C_7^6p^6(1-p)+C_7^7p^7= \\ =\frac{C_7^3\cdot2^4+C_7^4\cdot2^3+C_7^5\cdot2^2+C_7^7}{3^7}= \\ =\frac{35\cdot16+35\cdot8+21\cdot4+7\cdot2+1}{3^7}=\frac{939}{3^7}=\frac{313}{729}}.\]Ответ 313/729
модуль 1.8 шаг 6
Костя Сидоров любит ходить в тир пострелять. Его рекорд в серии из пяти выстрелов составляет 47 очков. Какова вероятность повторить рекорд, если в среднем он попадает в десятку в 30% случаев, в девятку — в 40%, в восьмерку — в 20%, в семерку — в 5%, оставшиеся 5% приходятся на диапазон 0–6? В качестве ответа укажите десятичную дробь.
Решение
Набрать снова ровно 47 очков за пять выстрелов можно следующими тремя способами:
-
- Четыре раза выбить 10 и один 7. Таких существует 5 вариантов.
-
- Три раза выбить 10, один раз 9 и один раз 8. Таких существует 20 вариантов: \(P=20\cdot0.3\cdot0.4\cdot0.2=0.00432.\)
-
- Два раза выбить 10 и три раза 9. Таких существует 10 вариантов: \(P=10\cdot0.3^2\cdot0.4^3=0.0576.\)
Других способов получить 47 очков нет. Осталось лишь сложить три найденные вероятности.
Ответ
0.102825
модуль 1.8 шаг 7
Пусть 𝑚<𝑛 — натуральные числа. Найдите вероятность того, что в 2𝑛 испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха 𝑝 появится 𝑚+𝑛 успехов и все испытания с четными номерами закончатся успехом. Если в ответе понадобится факториал, то набирать его следует так: factorial(5).
Решение
Вероятность того, что во всех четных испытаниях случился успех равна \(p^n\). Рассмотрим нечетные испытания. Они образуют схему Бернулли с 𝑛 испытаниями, из которых 𝑚 завершилось успехом. Вероятность такого события равна \(C_n^mp^m(1-p)^{n-m}\). Осталось заметить, что результаты испытаний с четными номерами и результаты испытаний с нечетными номерами независимы, поэтому осталось перемножить найденные вероятности и получить ответ.
Ответ
binomial(n, m)p^(n+m)(1-p)^(n-m)