1.7 Независимые события

Created in August 22, 2025

2025   ·   stepik-probability_theory-3089

1.7 Независимые события

модуль 1.7 шаг 3

В мешке лежит 12 шаров для игры в петанк: 6 белых и 6 черных, причем 2 белых и 4 черных шара с насечкой. Из мешка вынимают наугад один шар. Пусть 𝐴 — событие, означающее, что вытащили белый шар, а 𝐵 — событие, означающее, что вынули шар с насечкой. Найдите вероятности 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵) и 𝑃(𝐴∩𝐵). Будут ли события 𝐴 и 𝐵 независимы? В ответе приведите разделенные пробелами найденные вероятности в виде обыкновенных дробей и одно из слов “зависимы” или “независимы” (без кавычек). Например, 1/2 2/3 3/4 независимы.

Решение В мешке 12 шаров, из которых 6 белых, поэтому \(P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\). Шаров с насечкой там тоже 6, поэтому \(P(B)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\). Белых шаров с насечкой там 2, поэтому \(P(A\cap{B})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\). Поскольку \((\P(A\cap{B})=\frac{1}{6}\neq\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=P(A)P(B)\), события зависимы.

Ответ 1/2 1/2 1/6 зависимы

модуль 1.7 шаг 4

Из колоды, содержащей 52 карты, наугад извлекается одна карта. Событие A означает, что извлеченная карта является дамой, событие B — что извлечена карта пиковой масти. Найдите вероятности событий A, B и A∩B. Независимы ли события A и B? Решите эту же задачу при условии, что в колоде 54 карты, т.е. к стандартной 52-х карточной колоде добавлены два джокера. Джокер не имеет масти и не является дамой. В ответе для каждой из вариантов задачи приведите разделенные пробелами найденные вероятности в виде обыкновенных дробей и одно из слов “зависимы” или “независимы” (без кавычек). Например, 1/2 2/3 3/4 независимы 1/5 1/6 1/7 зависимы.

Решение

В колоде 52 карты, из которых 4 дамы, поэтому \(P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\). Карт пиковой масти в колоде 13, поэтому \(P(B)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\). Вероятность вытащить пиковую даму равна \(\frac{1}{52}\), поэтому \(P(A\cap{B})=\frac{1}{52}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{4}=P(A)P(B)\) и события A и B независимы. В колоде 54 карты, из которых 4 дамы, поэтому \(P(A)=\frac{4}{54}=\frac{2}{27}\). Карт пиковой масти в колоде 13, поэтому \(P(B)=\frac{13}{54}\). Вероятность вытащить пиковую даму равна \(\frac{1}{54}\), поэтому \((P(A\cap{B})=\frac{1}{54}\neq\frac{2}{27}\cdot\frac{13}{54}=P(A)P(B)\) и события A и B не являются независимыми.

Ответ 1/13 1/4 1/52 независимы 2/27 13/54 1/54 зависимы

модуль 1.7 шаг 7

Подбрасываются две правильные игральные кости. Событие \(A_k\) при k=2,3,…,12 означает, что сумма очков на кубиках равна k, а событие \(B_n\)) при n=1,2,…,6 означает, что на первом кубике выпало n очков. Для каких пар (𝑘,𝑛) события \(A_k\)) и \((B_n\)) независимы? В качестве ответа приведите все пары, разделенные пробелами. Например, (2,2) (4,3) (5,1) .

Решение Напишем вероятности событий \(A_k\) и \(B_n)): ((P(B_n)=\frac{1}{6}, P(A_k)=\frac{k-1}{36})) при 𝑘=2,3,…,7 и \(P(A_k)=\frac{13-k}{36})) при k=8,9,…,12. Вероятность события \(A_k\cap{B_n}\) также легко находится, поскольку это событие означает, что на первом кубике выпало n, а в сумме выпало 𝑘. Если 𝑘⩽𝑛, то это невозможное событие и его вероятность равна нулю. Тогда события \(A_k\) и \(B_n\) не могут быть независимыми, ибо \(P(A_k)P(B_n)>0=P(A_k\cap{B_n})\). Если же 𝑘>𝑛, то это означает, что на втором кубике выпало 𝑘−𝑛 и вероятность выпадения такой пары очков равна \(\frac{1}{36}\). Установим когда 𝑘>𝑛 и \(P(A_k)P(B_n)=P(A_k\cap{B_n})\). Рассмотрим случай 𝑘⩽7, тогда \(\frac{1}{36}=\frac{k-1}{36}\cdot\frac{1}{6}\) и, значит, 𝑘=7 и 𝑛 — любое. Далее рассмотрим случай 𝑘⩾8, тогда \(\frac{1}{36}=\frac{13-k}{36}\cdot\frac{1}{6}\) и, значит, 13−𝑘=6, что для 𝑘⩾8 невозможно. Отсюда находим ответ: 𝑘=7, n — любое число от 1 до 6.

Ответ (7,1) (7,2) (7,3) (7,4) (7,5) (7,6)

модуль 1.7 шаг 8

Бросаются две игральные кости. Рассмотрим три события: A — на первой кости выпало нечётное число очков, B — на второй кости выпало нечётное число очков, C — сумма очков на обеих костях нечётна. Бросаются три игральные кости. Событие X состоит в том, что одинаковое число очков выпало на первой и второй костях, Y — одинаковое число очков на второй и третьей костях, Z — на первой и третьей.

Отметьте верные утверждения.

Решение

Найдем сначала вероятности некоторых событий, которые нам потребуются в дальнейшем:

\[𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}, P(X)=P(Y)=P(Z)=\frac{1}{6}\]

  • [] События 𝐴 и \(\bar{A}\) независимы. Неверно, поскольку \(P(A\cap{\bar{A}})=P(\emptyset)=0\).

  • События 𝐴 и \(\bar{B}\) независимы. Верно, поскольку \(P(A\cap{\bar{B}})=\frac{1}{4}=P(A)P(\bar{B})\).

  • События 𝐴, 𝐵 и 𝐶 попарно независимы. Верно, поскольку \(P(A\cap{B})=\frac{1}{4}=P(A)P(B)\) и два аналогичных равенства.

  • [] События 𝐴, 𝐵 и 𝐶 независимы в совокупности. Неверно, поскольку \(A\cap{B}\cap{C}=\emptyset\) и, значит, \(P(A\cap{B}\cap{C})=P(\emptyset)=0\neq\frac{1}{8}=P(A)P(B)P(C)\)

  • События X, Y и Z попарно независимы. Верно, поскольку \(P(X\cap{Y})=\frac{6}{6^3}=\frac{1}{36}=P(X)P(Y)\) и два аналогичных равенства.

  • [] События X, Y и Z независимы в совокупности. Неверно, поскольку \(X\cap{Y}\cap{Z}=X\cap{Y}\) и, значит, \(P(X\cap{Y}\cap{Z})=\frac{1}{36}\neq\frac{1}{6^3}=P(X)P(Y)P(Z)\).

Ответ

  • События \(A\) и \(\bar{A}\) независимы.
  • События \(A\) и \(\bar{B}\) независимы.
  • События \(A\), \(B\) и \(C\) попарно независимы.
  • События \(A\), \(B\) и \(C\) независимы в совокупности.
  • События X, Y и Z попарно независимы.
  • События X, Y и Z независимы в совокупности.