1.5 Условная вероятность

Created in August 22, 2025

2025   ·   stepik-probability_theory-3089

1.5 Условная вероятность

модуль 1.5 шаг 3

В урне 11 красных, 10 синих и 9 зеленых шаров. Из нее последовательно вынимают три шара. Найдите вероятность того, что первый шар окажется красным, второй — синим, а третий — зеленым. В ответе приведите обыкновенную дробь.

Решение

Пусть событие A означает, что первым был вытащен красный шар, событие B означает, что вторым был вытащен синий шар, а событие C означает, что третий шар — зеленый. Нам нужно найти вероятность 𝑃(𝐴∩𝐵∩𝐶). По определению условной вероятности 𝑃(𝐴∩𝐵∩𝐶)=𝑃(𝐶∣𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐶∣𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵∣𝐴)𝑃(𝐴). Найдем указанные вероятности. Поскольку всего шаров 30, а красных среди них — 11, \(P(A)=\frac{11}{30}\) Вероятность 𝑃(𝐵∣𝐴) означает, что уже наступило событие A и нужно найти вероятность наступления события B в этом случае. Т.е. первым был вытащен красный шар, после этого осталось 29 шаров, из которых 10 синих, стало быть, 𝑃(𝐵∣𝐴)=1029. Наконец, вероятность 𝑃(𝐶∣𝐴∩𝐵) означает, что уже наступили события 𝐴 и B и нужно найти вероятность наступления события C в этом случае. Т.е. первым был вытащен красный шар, а вторым — синий, после этого осталось 28 шаров, из которых 9 зеленых, следовательно, 𝑃(𝐶∣𝐴∩𝐵)=928. Таким образом, \(P(A \cap B \cap C) = \frac{9}{28}\cdot\frac{10}{29}\cdot\frac{11}{30}=\frac{33}{812}\)

Ответ: 33/812

модуль 1.5 шаг 4

Четыре человека A, B, C и D становятся в очередь в случайном порядке. Найдите

  • условную вероятность того, что A первый, если B последний;
  • условную вероятность того, что A первый, если A не последний;
  • условную вероятность того, что A первый, если B не последний;
  • условную вероятность того, что A первый, если B стоит в очереди позже A;
  • условную вероятность того, что A стоит в очереди раньше B, если известно, что A раньше C.

В качестве ответа приведите указанные вероятности в виде обыкновенных дробей, разделенных пробелами.

Решение - 1

  1. B уже последний, следовательно нужно найти вероятность того, что A займет 1 место из 3;

2) A не последний, следовательно нужно найти ту же вероятность, что и в 1п. 3) B точно не последний, следовательно из общего числа перестановок в знаменателе надо убрать количество вариантов, что B займет последнее место. В числителе же - количество вариантов, в которых A занимает 1 место за вычетом тех вариантов из них, в которых B на последнем месте. 4) В знаменателе - ровно половина всех возможных исходов, (либо B после A, либо A после B). B всегда будет позже чем A, если A на первом месте, поэтому в числителе - просто число вариантов, когда A занимает первое место. 5) Опять же - в знаменателе ровно половина всех возможных исходов. В числителе же - все варианты, когда A находится на первом месте плюс все варианты когда a на втором месте, B же на 3-4 местах.

Решение - 2

Ответ

1/3 1/3 2/9 1/2 2/3

модуль 1.5 шаг 6

Игральную кость бросают до тех пор пока не выпадет единица. Найдите вероятность того, что это случилось на втором бросании, если известно, что для этого потребовалось четное число бросаний. В ответе приведите обыкновенную дробь.оятности в виде обыкновенных дробей, разделенных пробелами.

Решение

Найдем вероятность того, что единица впервые выпала на втором бросании. Это событие произошло, если единица не выпала на первом бросании и выпала на втором:

\(P(A)=\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{36}\) Найдем теперь вероятность того, что единица впервые выпала на четном броске. Для этого сложим вероятности того, что это случилось на втором броске, четвертом, шестом и т.д. Вероятность того, что впервые единица выпала при бросании с номером 2𝑘 равна \((\frac{5}{6})^{2k-1}\cdot\frac{1}{6}\) . Получим

\[P(B) = \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^5\cdot\frac{1}{6}+...\]

Вычислим эту бесконечную сумму с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\(P(B) = \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\left(\frac{5}{6}\right)^5+... \right)=\frac{1}{6}\cdot\frac{\frac{5}{6}}{1-\left(\frac{5}{6}\right)^2}=\frac{5}{11}\) Заметим, что событие A∩B совпадает с событием A. По формуле условной вероятности:

\[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{5/36}{5/11}=\frac{11}{36}\]

Ответ 11/36