1.4 Немного комбинаторики

модуль 1.4 шаг 6

В урне лежат 9 белых шаров и 5 черных. Из урны одновременно извлекаются два шара. Найдите вероятности следующих событий

Извлеченные шары одного цвета
Извлеченные шары разных цветов

В качестве ответа укажите найденные вероятности в виде обыкновенных дробей, разделенных пробелами.

Решение

Количество способов выбрать 2 любых шара из 14 равно \(C_{14}^2=91\).

Найдем количество способов вытащить шары одного цвета: подойдут два белых шара (их можно вытащить \(C*{9}^2=36\) способами) или два черных шара (их можно вытащить \(C*{5}^2=10\) способами). Таким образом, \(P=\frac{36+10}{91}=\frac{46}{91}\).
Для того, чтобы шары были разных цветов, нужно вытащить любой из 9 белых и любой из 5 черных. Таким образом, \(P=\frac{9\cdot5}{91}=\frac{45}{91}\).

Другой способ решения задачи. Заметим, что два шара по цветам могут либо совпадать, либо различаться (других вариантов нет). Тогда после нахождения вероятности в одном случае, вторую можно найти вычитанием первой из единицы.

Ответ

46/91 45/9146/91 45/914/21 5/7 2/7

модуль 1.4 шаг 7

На карточках написаны все трехзначные числа, каждое по одному разу. Сколькими способами можно выбрать три карточки с четной суммой.

Решение

Три числа дают четную сумму, если они все четные или если ровно одно из них четное. В первом случае нам нужно выбрать три четных числа из 450 возможных (ровно столько трехзначных четных чисел), т.е. \(C{450}^3=\frac{450\cdot449\cdot448}{3!}=15086400\). Во втором случае нужно выбрать одно число из 450 четных и два числе из 450 нечетных. Это можно сделать \({450}\cdot C{450}^2 = 450\cdot\frac{450\cdot449}{2}=45 461 250\) способами. Осталось сложить эти числа.

Ответ: 60547650

модуль 1.4 шаг 8

В чемпионате России по футболу участвует 16 команд. Назовем итоги двух первенств похожими, если в них совпадают обладатели золотых, серебряных и бронзовых медалей; команды занявшие четвертые места (они получают право играть в европейских кубках), команды занявшие 13-е места, команды занявшие 14-е места (эти команды играют стыковые матчи); а также команды напрямую покидающие премьер-лигу (т.е. команды, занявшие последнее и предпоследнее места). Сколько существует попарно непохожих итогов чемпионата?

Решение

Первое решение. Чемпиона можно выбрать 16 способами, обладателя серебряных медалей 15-ю (поскольку им не может стать чемпион), обладателя бронзовых медалей 14-ю, команду, занявшую четвертое место 13-ю способами. Хорошо выступившие команды на этом закончились, осталось 12 команд. Команду, занявшую 13-е место можно выбрать 12-ю способами, а занявшую 14-е место — 11-ю способами. Наконец, из оставшихся 10 команд нужно выбрать двух аутсайдеров (порядок которых не важен), это можно сделать \(C_{10}^2\) способами. В итоге получаем ответ 16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅45=259459200.

Второе решение. Посчитаем сколько для каждого первенства существует похожих итогов. Мы можем любым способом разместить команды с 5-й по 12-ю и еще переставить местами 15-ю и 16-ю команды. Первое можно сделать 8! способами, второе — двумя. Отсюда получаем, что количество похожих итогов 2⋅8!. С другой стороны, если итоги 𝐴 и 𝐵 похожи на итог 𝐶, то они похожи и между собой. Поэтому все итоги разбиваются на классы попарно похожих, причем в каждом классе 2⋅8! итогов. Всего же итогов первенства 16!, а значит попарно непохожих среди них \(\frac{16!}{2\cdot8!}=2592459200\).

Ответ: 259459200

модуль 1.4 шаг 9

В программе к экзамену по теории вероятностей 75 вопросов. Студент знает 50 из них. В билете 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает хотя бы два вопроса из вытянутого им билета. В ответе приведите обыкновенную дробь.

Решение

Количество билетов, содержащих три вопроса, равно \(C_{75}^{3}=\frac{75\cdot74\cdot73}{6}=67525\)

Количество билетов, в которых студент не знает ни одного вопроса, равно \(C_{25}^{3}=\frac{25\cdot24\cdot23}{6}=2300\), билетов, в которых он знает ровно один вопрос, — \(C_{25}^{2}\cdot{50}=15000\).Во всех остальных билетах студент знает ровно два или ровно три вопроса. Таким образом,

\[P=1-\frac{15000+2300}{67525}=\frac{50225}{67525}=\frac{2009}{2701}.\]

Ответ: 2009/2701

модуль 1.4 шаг 10

Пусть 𝑛⩾3. Шарики занумерованы числами от 1 до 𝑛. Найдите количество способов эти 𝑛 шариков разместить в 𝑛 разных ящиков так, чтобы ровно один ящик оказался пустым. Если в ответе понадобится факториал, то набирать его следует так: factorial(5).

Решение

Если ровно один ящик оказался пустым, то это означает, что есть один ящик, в котором лежит два шара, а в n−2 ящиках лежат по одному шару. Посчитаем количество способов так разложить шары.

Сначала выберем ящика, который будут пустым. Это можно сделать n способами. Затем из оставшихся выберем ящик, в котором будут два шара (назовем его большим). Это можно сделать n−1 способом. Теперь перейдем к раскладыванию шаров. Сначала выберем пару шаров для большого ящика. Это можно сделать \(C_{n}^2\) способами. Осталось n−2 шара, которые нужно разложить по уже выбранным n−2 ящикам. Это можно сделать (n−2)! способами. Итого получаем ответ: \(n(n-1)C_{n}^2(n-2)!=n!\cdot\frac{n(n-1)}{2}.\)

Ответ: factorial(n)n(n-1)/2

модуль 1.4 шаг 11

Из колоды в 52 карты наугад взяли 6 карт. Найдите вероятности событий

среди выбранных карт по три карты двух разных мастей
среди выбранных карт не более двух бубновых карт

В ответе приведите разделенные пробелом обыкновенные дроби.

Решение

Всего шесть карт из колоды можно выбрать \(C_{52}^6\) способами. Выбрать две масти можно \(C_{4}^2\) способами. Далее для каждой масти нужно выбрать по три карты, это делается \(C_{13}^3\) способами. Отсюда получаем ответ: \(\frac{C_4^2(C_{13}^3)^2}{C_{52}^6}=\frac{4719}{195755}\). Если среди шести карт не более двух бубновых, то там либо все шесть небубновых карт, либо одна бубновая и пять небубновых, либо две бубновые и четыре небубновые карты. В первом случае способов выбрать карты \(C_{39}^6\), во втором \(C_{13}^1\cdot{C_{39}^5}\) а в третьем \(C_{13}^2\cdot{C_{39}^4}\) (первый множитель — количество способов выбрать нужное число бубновых карт, а второй множитель — количество способов выбрать нужное число небубновых карт). Отсюда получаем ответ: \(C_{39}^6+C_{13}^1\cdot{C_{39}^5}+C_{13}^2\cdot{C_{39}^4}\)

Ответ 4719/195755 660117/783020