3.1 Рекуррентные соотношения

3.1 Рекуррентные соотношения

модуль 3.1 шаг 7

Решите линейное однородное рекуррентное соотношение второго порядка \(a_{n+2}=7a_{n+1}-12a_n\) для следующих начальных условий: \(a_0=0\) и \(a_1=1\).

В качестве ответа введите число, полученное подстановкой \(n=1/2\) в формулу для \(a_n\), с точностью до третьего знака после запятой.

Решение

Ответ

0.268

модуль 3.1 шаг 9

Решить линейное однородное рекуррентное соотношение второго порядка \(a_{n+2}=-4a_{n+1}-4a_n\) при следующих начальных условиях: \(a_0=1, a_1=0.\)

Решение

Пишите в комментариях

Ответ

-((-2)^n)*(n-1)2^(n-1)-1

модуль 3.1 шаг 10

Решить следующее рекуррентное соотношение:

Внимание: \(\cos{\pi}\) набирать как cos(pi).

Решение

a[n]=(c1~)r^ncos(npi/2)+(c2~)r^nsin(npi/2), тогда:

a[0]=(c1~)cos(0)+(c2~)sin(0)=(c1~)

a[1]=(c1~)rcos(pi/2)+(c2~)rsin(pi/2)=(c2~)*r

А поскольку известно, что r=3, a[0]=a[1]=1, то:

(c1~)=1

(c2~)=a[1]/r=1/3

А c1 и c2 нужны были в восьмом степе только для вывода общей формулы для a[n].

Ответ

3^(n-1)*(3*cos(n*pi/2)+sin(n*pi/2))

модуль 3.1 шаг 11

Предлагаем вам решить задачу про лягушек, сформулированную в первом степе. Постарайтесь получить замкнутую формулу для n-го члена последовательности.

В качестве ответа укажите значение этой формулы при \(n=\frac{1}{2}\). Ответ округлите до целого числа.

Подсказка: рекуррентное соотношение в этой задаче является неоднородным. Чтобы избавиться от неоднородности, сделайте замену переменной: \(\hat{a}=a_n+c.\)

Решение

Ответ 67

модуль 3.1 шаг 13

Еще один интересный рекуррентный объект, родственный числам Фибоначчи, — числа Люка. Они задаются соотношением: \(L_n=L_{n-1}+L_{n-2}\), \(L_0=2\), \(L_1=1\).

Решите это рекуррентное соотношение. Найдите сорок второе число Люка.

Решение

1
2
3
4
5
 
import datetime
luk = lambda x : 2 if x == 0 else (1 if x == 1 else luk(x - 1) + luk(x - 2))
print(datetime.datetime.now().time())
print(luk(42))
print(datetime.datetime.now().time())
 

Ответ

599074578