2.4 Перестановки с повторениями. Числа Стирлинга

модуль 2.4 шаг 5

Сколько разных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика»?

Решение

м - 2, а - 3, т - 2, е - 1, и - 1, к - 1 => P(10;2,3,2,1,1,1)=P(10;2,3,2)

Ответ

151200

модуль 2.4 шаг 6

Сколькими способами можно из 20 различимых грибов сделать четыре неразличимые для нас связки по пять грибов в каждой?

Решение

\[n=\frac{20!}{5!5!5!5!4!}\]

Ответ

488864376

модуль 2.4 шаг 8

Вывести явную формулу для количества \(S(n,n-1)\) разбиений \(n\)-элементного множества, \(n>0\), ровно на \(n−1\) блоков.

Решение

Василий Гурьев

Задачу нахождения количества разбиений \(n\)-элементного множества на \(n−1\) блоков можно представить, как задачу нахождения количества вариантов выбора блока с 2 элементами из \(n\). В остальных блоках будет по одному элементу. Так и получаем \(\binom{n}{2}\).

Ответ

n!/((n-2)!*2)

модуль 2.4 шаг 9

Вывести явную формулу для количества \(S(n,2)\) разбиений \(n\)-элементного множества, \(n>0\), ровно на два блока.

Решение

Пишите в комментариях

Ответ

2^(n-1)-1

модуль 2.4 шаг 11

Дать комбинаторное доказательство следующей формулы для числа Стирлинга \(S(n,3)\):

\[S(n,3)=\frac{3^n-3(2^n-2)-3}{6}\]

Решение

модуль 2.4 шаг 15

Дать комбинаторное доказательство следующего рекуррентного соотношения для чисел Белла \(B_n\):

\[B(n+1)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\cdot{B(i)}, \quad n \geq 0.\]

Решение