2.3 Подсчет отображений конечных множеств

2.3 Подсчет отображений конечных множеств

модуль 2.3 шаг 6

Сопоставьте множество и формулу для подсчета количества элементов в нем.

Решение и Ответ

• Сюръективные отображения из n-элементного множества в k-элементное. – \(\hat S(n,k)\)
• Инъективные отображения из k-элементного множества в n-элементное множество. – \((n)_k\)
• Отображения из k-элементного множества в n-элементное множество. – \(n^k\)
• Инъективные отображения из n-элементного множества в k-элементное множество. – \((k)_n\)
• Биективные отображения из n-элементного множества в n-элементное множество – \(n!\)
• Отображения из n-элементного множества в k-элементное множество. – \(k^n\)

модуль 2.3 шаг 10

В начале учебного года на кафедре происходит распределение нагрузки. Имеется 5 преподавателей и 7 различных групп студентов, которым эти преподаватели должны прочитать один и тот же курс. Любой преподаватель может вести занятия в любой группе. Подсчитать количество способов распределения нагрузки между преподавателями при условии, что каждый преподаватель должен вести занятия хотя бы в одной группе.Трое мужчин и две женщины выбирают себе место работы (все люди считаются различимыми). В городе имеются три фирмы, в которых требуются только мужчины, две — в которых требуются только женщины, и две — в которых берут и мужчин, и женщин. Сколькими способами они могут выбрать себе место работы?

Решение

Рассматриваем учителей как различимые ящики, учеников, как различимые шары, тогда: \(5^7\) способов раскидать учеников по ящикам, из которых \(\binom{5}{1}\cdot{4^7}\) с одним пустым, \(\binom{5}{2}\cdot{3^7}\) с 2мя пустыми, \(\binom{5}{3}\cdot{2^7}\) ящиков с 3мя пустыми, \(\binom{5}{4}\) с 4мя пустыми и ни одного с 5ю пустыми.

1
2
3
4
5
 
k = 5
n = 7
defbinom(n:int, m:int) -> int:
return factorial(n)/(factorial(n-m)*factorial(m))
sum(((-1)**(k-i))*(i**n)*binom(k,i) for i inrange(1, k+1))125 * 16   = 5^3 * 2^4
 

Ответ

16800