2.2 Урновые схемы и схемы раскладки по ящикам

модуль 2.2 шаг 4

Сосчитать количество способов раскладки k неразличимых предметов по nn различимым ящикам при условии, что в каждом ящике должен находиться как минимум один предмет. Решение записать в виде явной функции от n и k. Пример ввода функции: n^k/k^(n-1)/k!

Решение

Шары неразличимы, ящики различимы. Значит, каждый раз, когда мы хотим положить шар, мы выбираем один ящик (из n). Всего таких выборов c повторениями k - n (т.к. в каждом ящике уже лежит по одному шару), значит ответ - \(\binom{k-1}{n-1}.\)

Ответ

binomial(k-1, n-1)

модуль 2.2 шаг 5

Cколькими способами можно представить натуральное число k в виде суммы n слагаемых вида

\[a_1+a_2+...+a_n=k\]

при условии, что порядок слагаемых важен, то есть при условии, что разбиения вида \([ 1+3+3+3=10\qquad и \qquad 3+1+3+3=10 ]\) считаются различными? Числа \(a_i\) могут быть произвольными целыми неотрицательными числами. Решение записать в виде явной функции от n и k. Пример ввода функции: n^k/k^(n-1)/k!

Решение

Представим как задачу, как задачу о разложении k-неразличимых объектов в n различимых ящиков с повторениями. Тогда решение имеет вид

\[\widetilde{C_n^k}=C_{n+k+1}^k=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\]

Ответ

binomial(n+k-1, k)

модуль 2.2 шаг 7

Сколькими способами можно разложить 9 различных монет по двум карманам (левому и правому)?

Решение

Для каждой монеты существует два положения (0 или 1): 0 - в левом кармане, 1 - в правом.

Ответ

\[2^9\]

модуль 2.2 шаг 9

В купе поезда едет 6 человек. Поезд делает 5 остановок. Сколькими способами пассажиры могут распределиться между этими остановками? Личности пассажиров нам не известны, мы их не различаем.

Решение

Остановка = ящик различимый , пассажир = предмет неразличимый, выйти на остановке могут сколько угодно.

\[\left( \binom{5}{6} \right) = \binom{10}{6}\]

Ответ

210

модуль 2.2 шаг 10

Трое мужчин и две женщины выбирают себе место работы (все люди считаются различимыми). В городе имеются три фирмы, в которых требуются только мужчины, две — в которых требуются только женщины, и две — в которых берут и мужчин, и женщин. Сколькими способами они могут выбрать себе место работы?

Решение

125 * 16 = 5^3 * 2^4

Ответ

2000

модуль 2.2 шаг 11

Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение

Все варианты минус ноль женщин минус одна женщина.

\[\binom{7+4}{6}-\binom{7}{6}-4\left(\binom{7+1}{6}-\binom{7}{6} \right)\]

Ответ

371