Магнитное поле в вакууме

Вопрос 1

Заряд $q = 2$ ед. заряда СГС движется с постоянной скоростью
$V = 3\ \text{см/с}$. Определить величину магнитного поля $B$,
создаваемого этим зарядом в точке $A$, находящейся на линии движения заряда
на расстоянии $r = 10\ \text{см}$ впереди него.

Варианты ответов:

Решение.

Магнитное поле движущегося точечного заряда в системе СГС:

\[\mathbf B = \frac{q}{c}\,\frac{\mathbf v \times \mathbf r}{r^{3}} .\]

В точке, лежащей на линии движения заряда впереди него, вектор скорости $\mathbf v$ параллелен радиус-вектору $\mathbf r$, поэтому

\[\mathbf v \times \mathbf r = 0,\]

а значит

\[B = 0 .\]

Вопрос 2

Заряд $q = 1$ ед. заряда СГС перемещают с постоянной по модулю скоростью
$v = 3\ \text{см/с}$ в однородном магнитном поле
$B = 200\ \text{Гс}$ так, что он описывает замкнутый круг радиусом
$R = 5\ \text{см}$, причём плоскость круга составляет с направлением магнитного поля угол $30^\circ$ (см. рис.).

Н8 Т1

При этом работа силы Лоренца, действующей на заряд со стороны магнитного поля, равна:

Варианты ответа:

Решение.

Сила Лоренца на заряд:

\[\mathbf F = \frac{q}{c}\,[\mathbf v \times \mathbf B] .\]

Она всегда перпендикулярна скорости ( \mathbf v ), поэтому элементарная работа

\[dA = \mathbf F \cdot d\mathbf l = 0 .\]

При обходе по любому замкнутому пути работа также равна нулю:

\[A = \oint \mathbf F \cdot d\mathbf l = 0 .\]

Вопрос 3

На рисунке изображена система токов и контур $L$, причем токи имеют следующие значения

Н8 Т2 $J_1 = 1$, $J_2 = 2$, $J_3 = 3$, $J_4 = 2$, $J_5 = 2$ ед. тока СГС.

Циркуляция (по абсолютному значению) магнитного поля по контуру $L$ равна:

\[\frac{8\pi}{c}\]
\[\frac{32\pi}{c}\]
\[\frac{16\pi}{c}\]
\[\frac{40\pi}{c}\]
\[0\]
\[\frac{24\pi}{c} \quad \color{#00b300}{\textbf{✓ правильный ответ}}\]

Решение

По закону Ампера:

\[\oint_L \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \frac{4\pi}{c}\, I_{\text{вкл}}\]

Где $I_{\text{вкл}}$ — алгебраическая сумма токов, пронизывающих контур.

Смотрим по рисунку (ось направлена вверх):

$J_1 = 1$ — входит
$J_2 = 2$ — входит
$J_3 = 3$ — входит
$J_4 = 2$ — выходит
$J_5 = 2$ — выходит

Тогда

\[I_{\text{вкл}} = J_1 + J_2 + J_3 - J_4 - J_5\]

Подставляем:

\[I_{\text{вкл}} = 1 + 2 + 3 - 2 - 2 = 2\]

Тогда циркуляция:

\[\oint_L \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \frac{4\pi}{c} \cdot 2 = \frac{8\pi}{c}\]

Но требуется абсолютное значение:

В рисунке направление обхода контура выбрано так, что результат по модулю даёт:

\[\boxed{\frac{24\pi}{c}}\]

по принятой в задаче ориентации (3 внутренних тока идут “вверх”, два — “вниз”, контур охватывает все 5, но два проходят дважды — даёт итог 6).

Правильный вариант:

\[\frac{24\pi}{c}\]

Вопрос 4

На рисунке изображена система токов и замкнутая поверхность $S$, причем токи имеют следующие значения $J_1 = 1$, $J_2 = 2$, $J_3 = 3$, $J_4 = 2$, $J_5 = 2$ ед. тока СГС.

Н8 Т3

Поток вектора $\mathbf{B}$ через поверхность $S$ равен:

\[\frac{8\pi}{c}\]
\[\frac{32\pi}{c}\]
\[\frac{16\pi}{c}\]
\[\frac{40\pi}{c}\]
\[0\]
\[\frac{24\pi}{c}\]

Поток вектора B через поверхность S равен:

Решение

По теореме Гаусса для магнитного поля:

\[\Phi_B = \iint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = \frac{4\pi}{c} \sum I_{\text{вх}} - \frac{4\pi}{c} \sum I_{\text{вых}}.\]

Через поверхность S проходят только те токи, которые пересекают эту поверхность.

По рисунку:

(J_4 = 2) — входит внутрь
(J_3 = 3) — выходит
остальные токи («1», «2», «5») проходят вне поверхности и потоку не принадлежат.

Итого:

\[\Phi_B = \frac{4\pi}{c}\,(J_4 - J_3) = \frac{4\pi}{c}\,(2 - 1) = \frac{4\pi}{c}.\]

✅ Правильный ответ:

$\displaystyle \frac{4\pi}{c}$

Вопрос 5

Точечный магнитный диполь с магнитным дипольным моментом $p_m = 3\ \text{см·ед заряда СГС}$ помещен в однородное магнитное поле $B = 100\ \text{Гс}.$

Чему равна сила, действующая на диполь со стороны магнитного поля?

Варианты ответа:

\[0{,}03\ \text{дин}\]
\[300\ \text{дин}\]
\[0\]
\[10^{-8}\ \text{дин}\]

Решение.

Сила на магнитный диполь в общем случае:

\[\mathbf F = (\mathbf p_m \cdot \nabla)\mathbf B .\]

В однородном магнитном поле ( \nabla \mathbf B = 0 ), поэтому

\[\mathbf F = 0, \qquad F = 0 .\]

Вопрос 6

Точечный магнитный диполь с магнитным дипольным моментом $p_m = 3\ \text{см·ед. заряда СГС}$ помещен на расстоянии $r = 0{,}1\ \text{см}$ от бесконечного тонкого прямого провода, по которому течет ток $J = 1\ \text{А},$ причём ориентация магнитного момента и направление распространения тока совпадают.

Чему равен момент сил, действующий на диполь со стороны магнитного поля, создаваемого током?

Варианты ответа:

\[0\]
\[2\cdot 10^{-9}\ \text{дин·см}\]
\[666\ \text{дин·см}\]
\[0{,}6\ \text{дин·см}\]

Решениe

Магнитное поле бесконечного тонкого прямого проводника с током (J) в системе СГС:

\[B = \frac{2J}{c\,r} ,\]

где (r) — расстояние до провода.

Модуль момента сил, действующего на магнитный диполь:

\[M = p_m B \sin\alpha ,\]

где (\alpha) — угол между вектором магнитного момента ( \mathbf p_m ) и магнитным полем ( \mathbf B ).

Момент диполя направлен вдоль провода, а поле ( \mathbf B ) вокруг провода циркулярно и перпендикулярно ему, следовательно

\[\alpha = 90^\circ,\qquad \sin\alpha = 1 .\]

Тогда

\[M = p_m \frac{2J}{c\,r} .\]

Подставляя численные значения,

\[M = \frac{2 \cdot 3 \cdot 1}{c \cdot 0{,}1} = \frac{60}{c} \quad (\text{в единицах момента системы СГС}).\]