Разбор задачи: Заряженный шарик в газе поляризуемых молекул

Created in October 31, 2025

2025   ·   coursera   электромагентизм   physics   ·   coursera   электромагентизм   physics

Электростатика и магнитостатика

Условие задачи

Заряженный шарик с зарядом \(Q\) помещен в газ, молекулы которого представляют собой упругие диполи с поляризуемостью \(\beta_0\). Концентрация частиц газа \(n_0\), температура \(T\). Найти поле \(E(r)\) вне шарика, считая возмущение концентрации малым (\(\delta n \ll n_0\)).

Физическая модель и ход решения

1. Основная идея

В обычном диэлектрике с жесткими молекулами поле точечного заряда описывается законом Кулона с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Однако в нашем случае молекулы газа могут перераспределяться в пространстве под действием неоднородного электрического поля. Это приводит к тому, что концентрация молекул \(n\), а следовательно, и поляризация среды \(\vec{P} = n\beta_0\vec{E}\), становятся функциями расстояния \(r\).

2. Равновесие сил, действующих на молекулы

На молекулу в неоднородном электрическом поле действуют две силы:

  • Электрическая сила (сила, действующая на индуцированный диполь): \[ F_{\text{el}} = \frac{\beta_0}{2}\frac{d(E^2)}{dr} \]

  • Сила, связанная с градиентом концентрации: \[ F_{\text{gas}} = -\frac{kT}{n}\frac{dn}{dr} \]

Условие равновесия: \[ \frac{\beta_0}{2}\frac{d(E^2)}{dr} - \frac{kT}{n}\frac{dn}{dr} = 0 \]

3. Зависимость концентрации от поля

Интегрируем уравнение равновесия: \[ \int_0^{E^2} \frac{\beta_0}{2}d(E’^2) = kT\int_{n_0}^n \frac{dn’}{n’} \] \[ \frac{\beta_0}{2}E^2 = kT\ln\left(\frac{n}{n_0}\right) \]

Получаем распределение Больцмана: \[ n(r) = n_0 \exp\left(\frac{\beta_0 E(r)^2}{2kT}\right) \tag{1} \]

4. Уравнение для электрического поля

Используем теорему Гаусса для вектора электрической индукции \(\vec{D}\): \[ \oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = 4\pi Q \] \[ D(r) \cdot 4\pi r^2 = 4\pi Q \] \[ D(r) = \frac{Q}{r^2} \]

Связь между векторами в системе СГС: \[ \vec{D} = \vec{E} + 4\pi\vec{P} = \vec{E} + 4\pi n\beta_0\vec{E} \]

Подставляем выражение для \(n(r)\) из (1): \[ E + 4\pi\beta_0 E \cdot n_0 \exp\left(\frac{\beta_0 E^2}{2kT}\right) = \frac{Q}{r^2} \tag{2} \]

5. Линеаризация уравнений

При малом возмущении концентрации \(\left(\frac{\beta_0 E^2}{2kT} \ll 1\right)\) разлагаем экспоненту: \[ \exp\left(\frac{\beta_0 E^2}{2kT}\right) \approx 1 + \frac{\beta_0 E^2}{2kT} \]

Подставляем в уравнение (2): \[ E + 4\pi n_0\beta_0 E \left(1 + \frac{\beta_0 E^2}{2kT}\right) = \frac{Q}{r^2} \] \[ E(1 + 4\pi n_0\beta_0) + \frac{2\pi n_0\beta_0^2}{kT}E^3 = \frac{Q}{r^2} \tag{3} \]

6. Решение методом последовательных приближений

В нулевом приближении (линейная теория): \[ E^{(0)} = \frac{Q}{r^2(1 + 4\pi n_0\beta_0)} \]

Учитываем поправку первого порядка: \[ E \approx \frac{Q}{r^2(1 + 4\pi n_0\beta_0)} - \frac{2\pi n_0\beta_0^2 Q^3}{kT r^6(1 + 4\pi n_0\beta_0)^4} \]

Окончательный ответ

\[ \boxed{E(r) = \frac{Q}{r^{2}(1+4\pi n_{0}\beta_{0})}\left(1 - \frac{2\pi n_{0}\beta_{0}^{2}Q^{2}}{kT r^{4}(1+4\pi n_{0}\beta_{0})^{3}}\right)} \]

Физическая интерпретация

  • Первый член: поле в среде с постоянной диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon = 1 + 4\pi n_0\beta_0\)
  • Второй член: поправка, учитывающая перераспределение молекул газа в неоднородном поле
  • Знак минус: показывает, что перераспределение молекул усиливает экранирование заряда

Область применимости

Полученное решение справедливо при: \[ \frac{\beta_0 E^2}{2kT} \ll 1, \quad \delta n = n - n_0 \ll n_0 \]

Формат для тестовой системы:



1

 
Q/(r^2*(1+4*pi*n0*beta0))*(1-2*pi*n0*beta0^2*Q^2/(k*T*r^4*(1+4*pi*n0*beta0)^3))